4) Généralisation :
on pose C(n,k)=(k parmi n)=(n!)/(k!(n-k)!)
Coefficient binomial de NEWTON
on sait que : (a+b)^n=∑(C(n,k)*a^(n-k)*b^k pour 0≤k≤n
donc (1+X)^(2n)= ∑(C(2n,k)*1^(2n-k)*X^k pour 0≤k≤2n
donc :
le terme a(n).X^n dans le polynôme (1+X)^(2n) est :
a(n).X^n=C(2n,n).X^n
donc a(n)=C(2n,n)
par ailleurs : (1+X)^(2n)=[(1+X)^n].[(1+X)^n]
or (1+X)^n= ∑(C(n,k)*1^(n-k)*X^k pour 0≤k≤2
donc :
le terme b(n).X^n dans le polynôme (1+X)^(2n) est :
b(n).X^n=∑[C(n,k).X^k.C(n,n-k).X^(n-k)]
or C(n,k)=C(n,n-k)
donc :
b(n).X^n=∑[(C(n,k))².X^k.X^(n-k)]=∑[(C(n,k))².X^n]=[∑(C(n,k))²].X^n
donc :
b(n)=∑[(C(n,k))²]
finalement :
a(n)=b(n) car le coefficient des X^n est unique
donc ∑[(C(n,k))²]=C(2n,n)
Rque : Je pense que ce raisonnement est du niveau TS
