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résolu

Bonsoir , pouvez-vous m'aidez sur mon dm de math svp?

1) On appelle f la fonction définie sur R par f(x)= ax au cube+ bx au carré+ cx+d , a,b,c,d étant quatre constantes réelles que l'on déterminera en utlisant les conditions suivantes (on appelle C la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormal (O,i,j), on ne cherchera pas à tracer C).
a) C passe par O et admet en ce point une tangente de coeffcient directeur -6.
b) La dérivée de f s'annule f s'annule pour les valeurs -1 et 3.

On pourra admettre pour la suite que l'on a f(x)= 2/3x au cube-2x au carré-6x.

2) Donner une équation de la tangente T à C en O. Préciser la position de C par rapport à T.
3) Etudier les variations de f.
4) Etudier le signe de f(x) suivant les valeurs de x. En déduire l'étude des variations de la fonction g définie sur R par g(x)= x^4-2x^3-18x^2(on ne calculera pas les aleurs des extremums).

MErci de m'aider sur ces questions Bonne soirée.

Répondre :

CROISIERFAMILYVIZ
f(x) = a x³ + b x² + cx + d
f '(x) = 3a x² + 2b x + c

1a) la courbe passe par l' origine du repère --> d = zéro
       f '(0) = -6 --> c = -6
1b) f '(x) = 3a x² + 2b x - 6
       f '(-1) = 3a - 2b - 6 = 0    qu' on va multiplier par 3 .
       f '(3) = 27a + 6b - 6 = 0
        donc    9a - 6b - 18 = 0
      par addition : 36a - 24 = 0 donc a = 2/3 d' où b = (3a-6)/2 = -2

conclusion :
f(x) = (2/3) x³ - 2 x² - 6x = (2x/3)(x²-3x-9) = (2x/3)(x-4,854)(x+1,854)
                                                        valeur exacte de 4,854 = 1,5(1+√5)
et f '(x) = 2 x² - 4x - 6 = 2(x²-2x-3) = 2(x+1)(x-3)

2°) tangente à l' Origine : y = -6x    La Courbe est sous la Tangente !

3°) tableau :
         x          -∞    -1,854    -1           0       1          3     4,854       +∞
     f '(x)                     +        0     -     -6       -          0         +
      f(x)         -∞         0      1o/3         0    -22/3    -18        0           +∞

4°) f(x) positif pour 1,5(1-√5) < x < 0    OU   x > 1,5(1+√5)

g(x) =  x4 - 4 x³ - 18 x² = x² ( x² - 4x - 18 )
 g '(x) = 4 x³ - 12 x² - 36 x = 4x ( x² - 3x - 9 ) = 6 * f(x)

d'où :     x               1,5(1-√5)             0            1,5(1+√5)
           g '(x)      -           0       +          0       -          0             +
           g(x)    décroiss  E     croiss     0  décroiss  M      croissante

le graphique de g(x) aura une forme de "W"
         ( E et M sont les deux extremums ! )
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