1) DA=DC+CA=CA+CB
or CA²=a²+a²=2a² donc CA=a√2
donc DA=a√2+a
donc DA=(1+√2)a
soit H le pied de la perpendiculaire à (AB) passant par D
donc AHD est rectangle en H donc DB²=DH²+BH²
soit K le pied de la perpendiculaire à (DH) passant par C
donc CKD est isocèle et rectangle en K
donc CK²+KD²=a²donc 2CK²=a² donc CK=a/√2
donc BH=a/√2
par ailleurs, le th de Thales donne : CB/DH=AC/AD
donc a/DH=a√2/(a+a√2)
donc DH=a(1+√2)/√2=a(2+√2)/2
ainsi : DB²=(a/√2)²+(a(1+√2)/√2)²
donc DB²=a²/2+a²(1+√2)²/2=a²(2+√2)
donc DB=a√(2+√2)
2) DA.DB=||DA||*||DB||*cos(π/8)
=a(1+√2)*a√(2+√2)*cos(π/8)
par ailleurs :
DA.DB=1/2(||DA||²+||DB||²-||DA-DB||²)
=1/2(DA²+DB²-AB²)
=1/2(a²(1+√2)²+a²(2+√2)²-a²)
=1/2(a²(1+2+2√2+4+2+4√2-1))
=a²/2(8+6√2)
=a²(4+3√2)
ainsi on déduit que :
a(1+√2)*a√(2+√2)*cos(π/8)=a²(4+3√2)
donc cos(π/8)=(4+3√2)/((1+√2)√(2+√2))
soit après calculs : cos(π/8)=√(2+√2)/2
