Bonjour,
1) ...
2) f'(x) = 1/2√x ⇒ f'(1) = 1/2
⇒ (T) : y = f'(1)(x - 1) + f(1) = 1/2(x - 1) + 1 = x/2 + 1/2
3) a) M(x;√x) et N(x;(x + 1)/2)
b) Quand x → 1, MN → 0
On en déduit que pour x ≈ 1 : √x ≈ (x + 1)/2
c) f(1 + h) = √(1 + h) ≈ (1 + h + 1)/2 ≈ 1 + h/2
d) f(1,01) ≈ 1 + 0,1/2 ≈ 1,05
A la calculatrice : √(1,01) ≈ 1,00498
e) f(0,99) ≈ 1 - 0,01/2 ≈ 0,995
A la calculatrice : √(0,99) ≈ 0,99498
4) a)
h ≥ -1 ⇒ √(1 + h) ≥ √(0) car la fonction √(x) est croissante sur R+.
et h ≥ -1 ⇔ 1 + h/2 ≥ 1/2
Donc √(1 + h) + 1 + h/2 ≥ 0 + 1/2 donc ≥ 1/2
b) √(1 + h) - (1 + h/2)
= [√(1 + h) - (1 + h/2)][√(1 + h ) + (1 + h/2)]/[√(1 + h) + (1 + h/2)]
= [(1 + h) - (1 + h/2)²]/[√(1 + h) + (1 + h/2)]
= [1 + h - 1 - h - h²/4]/[√(1 + h) + (1 + h/2)]
= -h²/4[√(1 + h) + (1 + h/2)]
Donc ≤ 0
c) e(h) = h²/4[√(1 + h) + (1 + h/2)]
5) a) pour h ∈ [-1 ; +∞[, d'après le 4)a) : √(1 + h) + (1 + h/2) ≥ 1/2
Donc : 4 x [√(1 + h) + (1 + h/2)] ≥ 2
Et donc e(h) ≤ h²/2
b) √(1,04) ≈ 1 + 0,04/2 ≈ 1,02 avec une erreur inférieure à : 0,04²/2 = 0,0008
