1)
U0+1 = 1- [tex] \frac{1}{1+U0} [/tex]
U1 =1 - [tex] \frac{1}{2} [/tex]
= 1/2
U1+1 = 1- [tex] \frac{1}{1+U1} [/tex]
U2 = 1- [tex] \frac{1}{3/2} [/tex]
= 1- 2/3
= 1/3
U3 = 1/4 (la méthode reste la même)
U4 = 1/5
U5= 1/6
Conjecture : Il semble que la suite (Un) peut s'écrire sous la forme
Un= [tex] \frac{1}{n+1} [/tex]
2) U0 = 1
Donc on vérifie si on trouve 1 avec notre conjecture
U0= [tex] \frac{1}{0+1} = \frac{1}{1} = 1[/tex]
La première égalité est vérifiée
Ensuite,
U(n+1)= 1- [tex] \frac{1}{1+Un} [/tex]
On prends un de nos résultats par exemple U2= [tex] \frac{1}{3} [/tex]
On cherche U2 avec l'expression conjecturé
U2= [tex] \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3} [/tex]
La deuxième égalité est vérifiée
On vient de démontrer que la suite (Un) peut s'exprimer par Un= [tex] \frac{1}{n+1} [/tex] pour tout entier naturel n
