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résolu

Bonjour j'aurais besoin d'aide merci

Au IXe siècle, une civilisation brillante se développe à Bagdad. Parmi les savants qui ont contribué à cette civilisation, le mathématicien Al-Khwarizmi (780-850) est considéré comme le créateur de l'algèbre.
Dans son ouvrage Abrégé du calcul par restauration et comparaison, il y a décrit la résolution de 5 types d'équation du second degré :
ax²=bx ; ax²=b ; ax²+bx=c ; ax²+c=bx ; ax²=bx+c
a,b, et c représentent des nombres positifs (les nombres négatifs n'existaient pas). Mais attention, à cette époque, les lettres n'étaient pas utilisées en mathématiques (le calcul littéral n'existait pas).
Aussi, pour chaque équation, Al-Khwarizmi présentant une méthode sous forme d'un texte à partir d'un exemple.
Voici une traduction d'un texte d'Al-Khwarizmi présentant la méthode de résolution de x²+21=10x
Voici deux indications pour faciliter la compréhension du texte :
- "Les racines" sont le coefficient de x dans l'équation ax²+c=bx c'est-à-dire b.
- "Les dirhams rajoutés au carré" représentent c.

Texte d'Al-Khwarizmi :
Divise en deux les racines (ce qui donne ici, 5), calcule le carré du résultat (tu obtiens 25), retire les dirhams (ici 21) qui sont ajoutés au carré (on obtient 4), extrais la racine (ce qui donne 2) et retire-la de la moitié de la racine, c'est la solution que tu cherches (5-2=3).
Si tu désires, ajoute cela à la moitié de la racine (ce qui donne 7), qui est une 2e solution.
Saches en outre que si tu divises en deux ta racine, que tu calcules son carré et qu'il soit plus petit que les dirhams qui sont ajoutés au carré, alors le problème est impossible.

Questions :
1) a) Résoudre l'équation x²+10=7x à l'aide de la méthode d'Al-Khwarizmi.
b) Démontrer que x²-7x+10=(x-3.5)²-1.5².
c) En déduire les solutions de l'équation x²+10=7x.
2) Résoudre l'équation x²+9=6x
a) En appliquant la méthode avec les équations produits.
b) En appliquant la méthode d'Al-Kwarizmi.
3) a) Résoudre l'équation x²-4x+5=0 avec la méthode d'Al-Khwarizmi.
b) Démontrer que x²-4x+5)(x-2)²+1
c) En déduire que x²-4x+5=0 n'a pas de solution.

J'ai vraiment besoin d'aide. Je vous remercie d'avance.

Répondre :

Bonsoir,

1)
a)
[tex]x^2+10=7x\\ Les\ racines\ = 7\\ Les\ dirhams\ =10\\ 7/2=3.5\\ 3.5^2=12.25\\ 12.25-10=2.25\\ \sqrt{2.25} =1.5\\ 3.5-1.5=2\ la solution\\ 3.5+1.5=5\ la\ solution\ 2\\ [/tex]
b)
[tex]x^2-7x+10=x²-2*3.5*x+3.5^2-3.5^2+10\\ =(x-3.5)^2-2.25\\ =(x-3.5)^2-1.5^2\\ [/tex]
c)
[tex]x^2+10=7x\\ x^2-7x+10=0\\ (x-3.5)^2-1.5^2=0\\ (x-3.5-1.5)(x-3.5+1.5)=0\\ (x-5)(x-2)=0\\ x=5\ ou\ x=2\\ [/tex]

2)
a)
[tex]x^2+9=6x\\ x^2-6x+9=0\\ (x-3)^2=0\\ x=3\ solution\ double\\ [/tex]

b)
[tex]x^2+9=6x\\ 6/2=3\\ 3^2=9\\ 9-9=0\\ \sqrt{0} =0\\ 3-0=3\\ 3+0=3\\ [/tex]

3)
a)
[tex]x^2-4x+5=0\\ x^2+5=4x\\ 4/5=2\\ 2^2=4\\ 4=-1\\ \sqrt{-1}\ impossible!!!\\ [/tex]

b)
[tex]x^2-4x+5=0\\ x^2-2*2*x+4-4+5=0\\ (x-2)^2+1=0 \\\\c) (x-2)^2+1=0\ non\ factorisable\\ [/tex]





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