f(x)=1/x.(2ln(x)+3)
Df=]0;+∞[
f'(x)=-1/x².(2ln(x)+3)+1/x.(2/x)
=1/x²(-2ln(x)-3+2)
=1/x².(-2ln(x)-1)
f'(x)=0 donne -2ln(x)-1=0 donc ln(x)=-1/2 donc x=1/√e
f'(x)>0 donne -2ln(x)-1>0 donc ln(x)<-1/2 donc x<1/√e
donc f est croissante sur ]0;e] puis décroissante sur [e;+∞[
f admet un maximum local en x=1/√e
lim(1/x.ln(x),x→0)=-∞ donc lim(f(x),x→0)=-∞
lim(1/x.ln(x),x→+∞)=0 donc lim(f(x),x→+∞)=0
ainsi la droite (d):y=0 est asymptote horizontale à Cf en +∞
et la droite (d'):x=0 est asymptote verticale à Cf
