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résolu

Bonjour, je n'arrive pas à ce DM à rendre pour mardi 10 Avril 2018, Pouvez vous m'aider

Partie A : 1. On considère la fonction f définie sur ℝ par () = ² − 6 + 8 Compléter (en utilisant la calculatrice) le tableau de valeurs ci-dessous.
(Voir PDF)

2. Voici les courbes représentatives de quatre fonctions f1, f2, f3 et f4.
Parmi ces courbes, l’une d’entre elles représente la fonction f. Trouvez laquelle en justifiant l’élimination
des trois autres.
(retourner voir le PDF)

3. a. Démontrer que pour tout réel x, f (x) peut s’écrire sous la forme () = ( − 3)
2 − 1

b. En déduire que la forme factorisée de f (x) est ( − 2)( − 4).

c. Etudier le signe de f (x). En déduire l’ensemble des solutions de l’inéquation ( − 2)( − 4) > 0

Dans un carré de côté x cm, on découpe une bande de 2cm de large
et une autre de 4cm de large.
(Voir schéma PDF)

1. On note S(x) l’aire restante en fonction de x. Prouver que () = ² − 6 + 8

2. Expliquer pourquoi x ne peut prendre que des valeurs appartenant à l’ensemble =]0,2[∪]4; +∞[

3. En choisissant la forme de f (x) la plus adaptée, prouver que f admet un minimum.
En quelle valeur de x est-il atteint ? Déterminer pour quelle valeur de x l’aire S(x) est minimale. Justifier.


Répondre :

CROISIERFAMILYVIZ
f(x) = x² - 6x + 8 à étudier sur [ -6 ; +8 ]

A1°) tableau :
         x         -6          -4         -2          0           2           4           6            8
        f(x)      8o         48         24         8           0           0           8           24

2°) seule la bleue est une Parabole "en U" passant par le point (0;8) .
      La droite noire n' est pas une Parabole ; la Parab verte est "en pont" ;
       et la Parab orange passe par (0;5)

3°) f(x) = x² - 6x + 8 = x² - 6x + 9 - 1 = (x - 3)² - 1
                                                          = (x-3)² - 1²
                                                           = (x-3+1)(x-3-1)
                                                            = (x-2)(x-4)
      f(x) est négative pour 2 < x < 4
      f(x) est positive pour x < 2   OU   x > 4
       Solution de l' inéquation proposée = ] -∞ ; 2 [ U ] 4 ; +∞ [

partie B :
1°) Aire blanche restante = (x-2)(x-4) = x² - 6x + 8
2°) comme cette Aire doit être positive et que l' on veut pouvoir
        découper une bande de 4 cm de large, il faut x > 4 cm .
3°) cette Aire mini est obtenue pour x = 4 cm, on a alors Amini = 0 .
       C' est logique : si on prend un carré de 4 cm de côté et qu' on découpe une bande de 4 cm, forcément, il ne reste plus rien !
TRUDELMICHELVIZ
Bonjour,
1) je vous laisse les calculs
2)
A(x)=x²-6x+8
polynome second degré
le graphe est une parabole
d'où
f(1) ne convient pas
a>0
A(x) admet un minimum
d'où
f2 ne convient pas
MINI(α;β)
α=-b/32
α=6/2
α=3
mini pour x=3
d'où
f2 ne convient pas
d'où
A(x)=f3

3)
a)f(x)=x²-6x+8
f(x)=a(x-α)²+β
α=3 (voir plus haut)
β=f(3)
β=-1
d'où
f(x)=(x-3)²-1
b)
f(x)=x²-6x+8
Δ=6²-4(8)
Δ=36-32
Δ=4
√Δ=2
x1=6+2/2=8/2=4
x2=6-2/2=4/2=2
f(x)=(x-x1)(x-x2)
f(x)=(x-2)(x-4)
f(x) est du signe de a sauf entre les racines
a>0
         (x-2)(x-4)>0    x∈]-∞,2[ ∪]4;+∞[

B
a)
dimension de la partie restante
x-2
et
x-4
b)
Aire restant
(x-2)(x-4)=x²-6x+8
c)
l'aire existe et donc est un nombre positif
d'où
(x-2)(x-4)>0
d'où
x ∈ [0,2[ ∪]4;+∞[
d)
f(x)=(x-3)²-1
f(x)=(x-2)(x-4)
(x-2)(x-4)=(x-3)²-1
d'où
minimum
voir plus haut
(3;-1)


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