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LOULOU2672VIZ
résolu

Bonjour, je pense avoir trouvé la réponse mais je ne sais pas comment démontrer.

Soit ABCD un carré de centre O et de côté 8 cm.
On prend M un point du segment [AB], distinct de A et de B et N un point du segment [BC] tel que CN=AM.
E est le point d'intersection des droites (MN) et (BD).
F est le point d'intersection de la droite parallèle à (BD) passant par N et de la droite (AC).
Déterminer la position du point M pour laquelle l'aire du quadrilatère ENFO est maximale.

Répondre :

CROISIERFAMILYVIZ
as-tu trouvé Aire Maxi d' ENFO = 8 cm² ?

Aire grand carré = 64 cm² --> Aire BAC = 32 cm² --> Aire BOC = 16 cm²

tous les triangles de cet exercice sont des triangles rectangles isocèles !

Aire BMN = (8-x)² / 2 --> Aire BEN = (8-x)² / 4 = 0,25 * (64-16x+x²)
                                                                         = 16 - 4x + 0,25 x²

Aire NFC = (x/√2)² / 2 = x² / 4 = 0,25 x²

donc Aire ENFO = Aire BOC - Aire BEN - Aire NFC
                           = 16 - 16 + 4x - 0,25 x² - 0,25 x² = 4x - 0,5 x²
                           = 0,5x ( 8 - x ) = A(x)
on voit que cette Aire est nulle pour x = 0   OU   x = 8 cm .
Comme A(x) est une Parabole "en pont" ,
 elle admet un Maximum pour x = 4 cm .

Amax = 0,5 * 4 * 4 = 8 cm² pour M = milieu du segment [ AB ] !

remarque : ENFO semble être un rectangle de largeur (x/√2) et de Longueur (8-x)/√2 ; donc l' Aire d' ENFO est (x/√2) * (8-x)/√2 = 0,5x (8-x) . On retrouve bien notre "formule" d' Aire d' ENFO !
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