Bonjour,
Ex 1
1) ...
2) l(k+1) = 2 x l(k) par construction de l'arbre.
Donc (l(k)) suite géo ⇒ l(k) = l(0) x 2^k = 2^k
3) Au rang k = 0, la ligne commence par 1 = 2⁰
Supposons qu'au rang k quelconque (k ≥ 0), la ligne commence par 2^k
La ligne de hauteur k comporte l(k) = 2^k entiers
Donc elle se termine par l'entier 2^k + (2^k - 1),
soit par 2x2^k - 1 = 2^(k+1) - 1
La ligne suivante de hauteur (k+1) commence donc par :
2^(k+1) - 1 + 1 = 2^(k+1)
Donc propriété héréditaire
Donc vraie pour tout k ≥ 0
On en déduit que pour tout k ≥ 0, H(2^k) = k
4) 1024 < 1092 < 2048
⇒ 2¹⁰ < 1092 < 2¹¹
⇒ 1092 est sur la même ligne que 1024
⇒ H(1092) = H(2¹⁰) = 10
5) H(ab) = H(2^p x 2^q) en posant a = 2^p et b = 2^q
= H(2^(p+q))
= p + q
= H(2^p) + H(2^q)
= H(a) + H(b)
