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résolu

Bonjour Soit ABCD un parallélogramme.
À quelle condition a t-on :
MD2-MC2=MA2-MB2 pour tout point M du plan.

Je n'ai pas compris où commencer cette question.

Répondre :

PROFDEMATHS1VIZ
Soit ABCD un parallélogramme
alors
MD²-MC²=(MD+MC).(MD-MC)=CD.(MD+MC)
MA²-MB²=(MA+MB).(MA-MB)=BA.(MA+MB)

donc (MD²-MC²)-(MA²-MB²)=CD.(MD+MC)- BA.(MA+MB)
                                           =BA.(MD+MC)-BA.(MA+MB)
                                           =BA.(MA+MB-MC-MD)

Soit I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [CD]
donc
(MD²-MC²)-(MA²-MB²)=BA.(MI+IA+MI+IB-MJ-JC-MJ-JD)
                                   =BA.(2MI-2MJ)
                                   =2BA.(MI-MJ)
                                   =2BA.JI
donc
MD²-MC²=MA²-MB² si 2BA.JI=0 soit si (AB)⊥(IJ)
ainsi ABCD est un rectangle
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