Bonjour :)
Exercice 3 :
1. a) Le volume d'un cylindre est donné par la formule :
[tex]V_{cylindre} = \pi r^2 \times h[/tex]
Dans notre cas on a donc :
[tex]V = \pi \times 1.5^2 \times 6 = 2.25 \times 6 \times \pi = 13.5\pi[/tex] cm^3.
b) Calculons d'abord le volume d'un des deux cônes. Le volume d'un cône est donné par la formule :
[tex]V_{cone} = \dfrac{1}{3} \times \pi r^2 \times h[/tex]
Dans notre cas, la hauteur d'un cône est la moitié de la hauteur totale du cylindre, on a donc :
[tex]V_{cone} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 1.5^2 \times 3 = \dfrac{1}{3} \times 2.25 \times 3 \times \pi = 2.25\pi[/tex] cm^3.
Comme on a deux cônes identiques, on retrouve :
[tex]V_1 = 2 \times V_{cone} = 2 \times 2.25\pi = 4.5\pi[/tex] cm^3.
c) La fraction du volume est donc de :
[tex]\dfrac{V_1}{V} = \dfrac{4.5\pi}{13.5\pi} = \dfrac{1}{3}[/tex].
On aurait pu retrouver ce résultat plus simplement en disant que le volume d'un cône est le volume du cylindre de même base et de même hauteur, divisé par 3.
Problème :
1. Je te laisse faire :)
2. a) AOB est isocèle car comme O est le milieu du carré ABCD et comme dans un carré, les diagonales se coupent en leur milieu, AO = BO et donc le triangle AOB est isocèle en O.
b) Il faut utiliser le théorème de Pythagore (je te laisse le rédiger) dans le carré ABCD :
[tex]AB^2 = AO^2 + BO^2[/tex]
De plus selon la question 2.a), AO=BO donc :
[tex]AB^2 = 2AO^2[/tex]
[tex]AB = \sqrt{2AO^2}[/tex]
[tex]AB = \sqrt{2*(27)^2} = 27\sqrt{2}[/tex] mm.
3. a) L'aire d'un carré est donnée par la formule :
[tex]Aire_{ABCD} = AB^2 = (27\sqrt{2})^2 = 1458[/tex] mm².
b) Le volume d'une pyramide à base carrée est donné par :
[tex]V = \dfrac{1}{3} \times Aire_{ABCD} \times SO[/tex]
[tex]V = \dfrac{1}{3} \times 1458 \times 120[/tex]
[tex]V = 58320[/tex] mm^3.
4. Il suffit d'utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle SOA :
[tex]SA^2 = SO^2 + OA^2[/tex]
[tex]SA = \sqrt{120^2 + 27^2} = 123[/tex] mm.
5. a) Selon le théorème de Thalès, (OA) et (OA') sont parallèles.
b) Selon l'énoncé, A' est le milieu de [SA]. Aussi, (OA) // (OA'). Ainsi, selon le théorème de Thalès :
[tex]\dfrac{SO}{SO'} = \dfrac{SA}{SA'} = 2[/tex].
6. Comme on a réduit les longueurs d'un facteur 2, on réduit les volumes d'un facteur [tex]2^3 = 8[/tex].
Ainsi : [tex]V' = \dfrac{V}{8} = \dfrac{58320}{8} = 7290[/tex] mm^3.
7. Comme dit dans la question 6, la surface du sable sera à mi-hauteur entre S et ABCD lorsque le volume de sable aura diminué d'un facteur 8, c'est-à-dire qu'il ne restera qu'un 8ème du sable dans la partie supérieure du sablier, et comme le temps et la quantité de sable écoulée sont proportionnels (énoncé de la question 7), il ne restera qu'un 8ème du temps, c'est-à-dire 30 secondes.
