f(x) = (2 x + 5)/(x + 1) définie sur I =]- 1 ; + ∞[
Calculer f '(x)
1) A l'aide de la formule donnant la dérivée d'un quotient
(u/v) ' = (u ' x v - u x v ')/v²
u = 2 x + 5 ⇒ u ' = 2
v = x + 1 ⇒ v ' = 1
f '(x) = (u/v) ' = 2(x +1) - (2 x + 5)]/(x + 1)²
= 2 x + 2 - 2 x - 5)/(x + 1)²
= - 3/(x + 1)²
f '(x) = - 3/(x + 1)²
2) en démontrant au préalable que f(x) = 2 + (3)/(x + 1)
f(x) = (2 x + 5)/(x + 1) peut s'écrire sous la forme f(x) = a + b/(x + 1)
f(x) = a + b/(x + 1)
(a(x + 1) + b)/(x+1) = a x + (a + b)/(x + 1)
⇒ a x + (a + b) = 2 x + 5
⇒ a = 2 et a + b = 5 ⇒ b = 5 - 2 = 3
On trouve f(x) = 2 + (3)/(x + 1)
f '(x) = 0 - 3/(x + 1)² = - 3/(x + 1)²
(k 1/v)' = - k x v '/v² ⇒ f '(x) = - 3/(x + 1)²
v = x + 1 ⇒ v ' = 1
