👤
résolu

Bonjour,

A,B,H sont trois points alignés dans cet ordre, AB = 4 et BH = 1. DELTA est la droite perpendiculaire a (AB) en H et M un point variable de DELTA, distinct de H. LA droite d menée par A est perpendiculaire à (MA) coupe en N la droite d' menée par B et perpendiculaire à (MB).

1 a) Prenez plusieurs points M sur DELTA et construisez chaque fois, soignesement, le poin N associé.

1 b) Quelle conjecture pouvez-vous faire concernant le lieu de N ?

2. On choisit un repere orthonormal fixe qui permet de trouver une equation simple pour la droite DELTA.
On choisit donc un repere orthonormal fixe ( H , i, j ) tel que Xb = -1 ( i est colinéaire au vecteur AB).

a) quelles sont les coordonnées de A,B,H ?
b) Trouvez une équation de la droite DELTA

3. Pour trouver l'ensemble des poin N on va chercher les coordoné(x;y) de N. Ces coordoné dependent de celles de M.
Par hypoteses M est un point variable de DELTA, distinct de H, son abscisse est donc egal à 0 et son ordonnée pren nimporte quelle valeur non nulle.
Notons m cette ordoné avec m réel non nul.

a en traduisan l'ortogonalité des vecteurs Bm et Bn, puis celle de AM et An démontrez que les coordonnées (x;y) de N sont telles que:
x + my + 1 = 0 et 5 x + my + 25 = 0

b déduisez en en fonction de m les coordonnées de N. Démontrez alors que N est un point d'une droite DELTA' fixe dont vous donnerez une equation.



C) Ainsi le lieu de N est inclus dans la droite DELTA'.
Il reste désormais a repondre à la question suivante:

Le point N décrit-il toute la droite DELTA' ?

Besoin d'aide juste sur cette question svp

Répondre :

ELHEVIZ
Bonjour :)

1) a. Je te laisse construire ça, ça ne devrait pas te poser trop de problème :)

b. On peut conjecturer que le point N se trouve toujours sur la parallèle à (MH) à 6 unités de distance.

2) a. Les coordonnées de A sont [tex]A(-5;0)[/tex].
Les coordonnées de B sont [tex]B(-1;0)[/tex].
Les coordonnées de H sont [tex]H(0;0)[/tex].

b. L'équation la plus simple de la droite [tex]\Delta[/tex] est :
[tex]\Delta : x = 0[/tex] (il s'agit en fait de l'axe des ordonnées du repère [tex](H;\vec{\imath};\vec{\jmath})[/tex]).

3) a. Les vecteurs [tex]\overrightarrow{BM}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BN}[/tex] sont orthogonaux (selon l'énoncé). Ainsi, on a l'égalité :
[tex]x_{\overrightarrow{BM}}x_{\overrightarrow{BN}} + y_{\overrightarrow{BM}}y_{\overrightarrow{BN}} = 0[/tex]
En remplaçant :
[tex](x_M-x_B)(x_N-x_B) + (y_M-y_B)(y_N-y_B) = 0[/tex]
On remplace par tout ce que nous donne l'énoncé :
[tex](0 - (-1))(x-(-1)) + (m-0)(y-0) = 0[/tex]
[tex]x + 1 + my = 0[/tex].

De la même manière avec les vecteurs [tex]\overrightarrow{AM}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AN}[/tex] :
[tex]x_{\overrightarrow{AM}}x_{\overrightarrow{AN}} + y_{\overrightarrow{AM}}y_{\overrightarrow{AN}} = 0[/tex]
[tex](x_M-x_A)(x_N-x_A) + (y_M-y_A)(y_N-y_A) = 0[/tex]
[tex](0-(-5))(x-(-5)) + (m-0)(y-0) = 0[/tex]
[tex]5(x+5) + my = 0[/tex]
[tex]5x + my + 25 = 0[/tex].
On retrouve bien les deux égalités :
[tex]x + my + 1 = 0[/tex]
[tex]5x + my + 25 = 0[/tex].

b. D'abord, résolvons le système pour x (on soustrait la deuxième équation à la première) :
[tex]x + my + 1 = 0[/tex]
[tex]5x + my + 25 = 0[/tex]

Donc [tex]-4x - 24 = 0[/tex]
[tex]-4x = 24[/tex]
[tex]x = -6[/tex].
On en déduit déjà que N est sur une droite parallèle à [tex]\Delta[/tex].
Ensuite, il suffit de remplacer x par -6 dans une équation pour retrouver :
[tex]x + my + 1 = 0[/tex]
[tex]-6 + my + 1 = 0[/tex]
[tex]my - 5 = 0[/tex]
[tex]my = 5[/tex]
[tex]y = \dfrac{5}{m}[/tex].

Ainsi : [tex]N(-6;\dfrac{5}{m})[/tex].
Donc [tex]N \in \Delta '[/tex] avec [tex]\Delta ' : x = -6[/tex].

c. N ne décrit pas la droite [tex]\Delta '[/tex] totalement.
En effet, on ne peut pas avoir [tex]N(-6;0)[/tex] puisqu'il faudrait que le point M se situe à l'infini positif ou négatif sur [tex]\Delta[/tex].

Bonne journée ;)
Merci d'avoir visité notre site Web, qui traite d'environ Mathématiques. Nous espérons que les informations partagées vous ont été utiles. N'hésitez pas à nous contacter pour toute question ou demande d'assistance. À bientôt, et pensez à ajouter ce site à vos favoris !


Viz Asking: D'autres questions