Bonjour,
1)a)
f '(x)=6x²-6x qui est < 0 entre les racines car le coeff de x² est > 0.
6x²-6x=0 donne : 6x(x-1)=0
Les racines de f '(x) sont donc x=0 et x=1
Tu fais ton tableau de variation avec f ' (x) < 0 sur [0;1] et > 0 pour le reste.
Donc f(x) décroissante sur [0;1] et croissante pour le reste.
b) Tu fais. voir graphiques joints.
2) a)
On a le tableau suivant avec C= croissant et D=décroissant
x---------------->-inf....................0..........................1.......................+inf
f(x)-------------->.............C.......-1.........D..............-2.......C..............
f(2)=2*8-3*4-1=3
Sur [1;2] , f(x) est continue et strictement croissante. Elle passe d'une valeur négative -2 pour x=1 à une valeur positive 3 pour x=2.
D'après la propriété des valeurs intermédiaires, il existe donc un unique réel α tel que f(α)=0
b)
f(1.6) =-0.488 < 0
f(1.7)=0.156 > 0
Donc 1.6 < α < 1.7
c)
Tableau de signes de f(x) :
x-------->-inf............................α...........................+inf
f(x)------->.................-.............0..............+..............
3)
g(x)) est de la forme u/v avec :
u=1-x donc u'=-1
v=1+x³ donc v '=3x²
g '(x)=[-(1+x³)-3x²(1-x)] / (1+x³)²
g '(x)=(2x³-3x²-1) / (1+x³)²= f(x) / (1+x³)²
b)
g '(x) est du signe de son numérateur donc du signe de f(x).
Tableau de variation de g(x) :
x------>-inf.................-1................α...................+inf
g '(x)-->..........-...........||.......-........0........+..........
g(x)---->.........D..........||..........D....g(α)........C.........
