En fait tout est là :P
1) Première méthode :
a) [tex]g(b)-g(a) = (f(b))^2-(f(a))^2 = (f(b)-f(a))(f(b)+f(a))[/tex] (identité remarquable).
b) [tex]a<b[/tex] et f est croissante. Ainsi, f(b)-f(a) est du même signe que b-a, donc positif. De plus, [tex]f(x) < 0[/tex] pour tout [tex]x \in [/tex] [tex]$\mathbb{R}$[/tex] ("strictement négative"). Donc f(b)+f(a)<0 quelques soient a et b.
Ainsi, [tex](f(b)-f(a))(f(b)+f(a)) = g(b)-g(a) < 0[/tex].
c) Comme [tex]a<b[/tex], si [tex]g(b) - g(a) < 0[/tex] alors g est strictement décroissante sur [tex]$\mathbb{R}$[/tex].
2) Deuxième méthode :
a) [tex]f(b)>f(a)[/tex] car [tex]b>a[/tex] et f est strictement croissante sur [tex]$\mathbb{R}$[/tex].
b) [tex](f(b))^2 < (f(a))^2[/tex] car [tex]x \mapsto x^2[/tex] est strictement croissante sur [tex]$\mathbb{R}$[/tex], et car [tex]f(x)<0[/tex] pour tout [tex]x \in [/tex] [tex]$\mathbb{R}$[/tex].
c) Du coup, comme [tex](f(b))^2 - (f(a))^2 < 0[/tex], [tex]g(b) - g(a) < 0[/tex] et donc g est décroissante sur [tex]$\mathbb{R}$[/tex] car [tex]a<b[/tex].
Bonne soirée ;) ! (J'espère que c'est compréhensible :$)
