Bonjour,
Partie A:
1) A(0;0) B(1;0) C(1;1) D(0;1) I(1/2;1) K(1/2;0)
2) Dans l'énoncé, on nous indique que (AI) coupe (DB) en M donc on peut affirmer que les point A,I et M sont alignés donc vectoriellement nous pouvons écrire que AM=kAI
Nous allons calculer les coordonnées des 2 vecteurs:
AM (x(M)-x(A);y(M)-y(A))
AM (x(M)-0;y(M)-0)
AM (x(M);y(M))
AI (x(I)-x(A);y(I)-y(A))
AI (1/2-0;1-0)
AI (1/2;1)
Comme nous savons que:
AM=kAI
(x(M);y(M))=k(1/2;1)
(x(M);y(M)=((1/2)k;k)
On peut alors écrire que:
x(M)=(1/2)k
Comme on a k=y(M) donc
x(M)=(1/2)y(M)----->CQFD
3) Dans l'énoncé, on nous indique que (AI) coupe (DB) en M donc on peut
affirmer que les point D, B et M sont alignés donc vectoriellement nous
pouvons écrire que DM=k'DB
Nous allons calculer les coordonnées de ces 2 vecteurs:
DM (x(M)-x(D);y(M)-y(D))
DM (x(M);y(M)-1)
DB (x(B)-x(D);y(B)-y(D))
DB (1-0;0-1)
DB (1;-1)
Comme on a:
DM=k'DB
(x(M);y(M))=k'(1;-1)
(x(M)-1;y(M))=(k';-k')
On peut alors écrire que:
x(M)-1=k'
x(M)-1=-y(M) car y(M)=-k' donc:
x(M)=-y(M)+1
y(M)=-x(M)+1----->CQFD
4) Par les questions précédentes, on sait que:
y(M)=-x(M)+1
y(M)=-(1/2)y(M)+1
y(M)+(1/2)y(M)=1
(3/2)y(M)=1
y(M)=2/3
Comme on a:
x(M)=(1/2)y(M)
x(M)=(1/2)(2/3)
x(M)=1/3
On a donc M(1/3;2/3)--->CQFD
5) Dans l'énoncé, on nous indique que (CK) coupe (DB) en N donc on peut
affirmer que les point N, K et C sont alignés donc vectoriellement nous
pouvons écrire que KN=kKC
Nous allons calculer les coordonnées de ces 2 vecteurs:
KN (x(N)-x(K);y(N)-y(K))
KN (x(N)-1/2;y(N)-0)
KN (x(N)-1/2;y(N))
KC (x(C)-x(K);y(C)-y(K))
KC (1-1/2;1-0)
KC (1/2;1)
Comme on a:
KN=kKC
(x(N)-1/2;y(N))=k(1/2;1)
(x(N)-1/2;y(N))=((1/2)k;k)
On peut alors écrire que:
x(N)-1/2=(1/2)k
x(N)-(1/2)=(1/2)k avec k=y(N) donc
y(N)=2x(N)-1
Dans l'énoncé, on nous indique que (CK) coupe (DB) en N donc on peut
affirmer que les point D, B et N sont alignés donc vectoriellement nous
pouvons écrire que DN=k'DB
Nous allons calculer les coordonnées de ces 2 vecteurs:
DN (x(N)-x(D);y(N)-y(D))
DN (x(N)-0;y(N)-1)
DN (x(N); y(N)-1)
DB (x(B)-x(D);y(B)-y(D))
DB (1-0;0-1)
DB (1;-1)
Comme on a:
DN=k'DB
(x(N); y(N)-1)=k'(1;-1)
(x(N); y(N)-1)=(k';-k')
On peut écrire alors:
y(N)-1=-k' comme k'=x(N) donc:
y(N)-1=-x(N)
y(N)=-x(N)+1
Comme on a:
y(N)=2x(N)-1
-x(N)+1=2x(N)-1
3x(N)=2
x(N)=2/3
y(N)=-x(N)+1
y(N)=-2/3+1
y(N)=1/3
On a donc N(2/3;1/3)---->CQFD
6) Nous allons calculer les coordonnées de MI et NK
MI(x(I)-x(M);y(I)-y(M))
MI (1/2-1/3;1-2/3)
MI (1/6;1/3)
NK (x(N)-x(K);y(N)-y(K))
NK (2/3-1/2,1/3-0)
NK (1/6;1/3)
On constate alors:
MI=NK
Le quadrilatère MINK est donc un parallélogramme
Partie B:
1) AI=AD+DI
Comme I milieu de [DC] donc DI=1/2DC d'où:
AI=AD+(1/2)DC
Comme ABCD est un parallélogramme donc AB=DC donc:
AI=AD+(1/2)AB
KC=KB+BC
Comme K milieu de[AB] donc KB=(1/2)AB d'où:
KC=(1/2)AB+BC
Comme ABCD est un parallélogramme donc BC=AD d'où:
KC=(1/2)AB+AD
2) Par la question précédente, on a:
KC=(1/2)AB+AD
AI=AD+(1/2)AB
On peut alors conclure facilement que:
KC=AI
Il vient alors que les droites (KC) et (AI) sont parallèles.
