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résolu

Bonjour! Pouvez-vous m'aider? Voici l'énoncé;

sachant que cos(-π/5)=1+√5/4, calculer la valeur exacte de sin(-π/5).

indications: pour tout x ∈ R, on a (cos x)^2 +(sin x)^2 =1;
pour tout a ∈ [0;+∞[,on a √a^2=a;
pour tout a ∈ ]–∞;0],on a √a^2=−a.

Voici les résultats obtenus par 2 élèves :
1. √(10-2√5)/4
2. -√10/4

Leur professeur leur dit que ces deux réponses sont intéressantes mais inexactes et qu’en refaisant l’exercice ensemble, ils devraient obtenir le bon résultat.

1 Expliquer l’erreur commise par le premier élève puis celle commise par le deuxième.
2 Donner la valeur exacte de sin(-π/5)

Voilà! Merci beaucoup de votre aide!

Répondre :

SCOLADANVIZ
Bonjour,

1) sin²(-π/5) = 1 - cos²(-π/5)

et -π/5 ∈ [-π/2;0] donc cos(-π/5) > 0 et sin(-π/5) < 0

⇒ sin(-π/5) = -√[1 - cos²(-π/5)]

cos²(-π/5) = [(1 + √(5))/4]² = (1 + 2√(5) + 5)/16 = (6 + 2√(5))/16 = (3 + √(5))/8

⇒ 1 - cos²(-π/5) = (8 - 3 - √(5))/8 = (5 - √(5))/8 = √(5)(√(5) - 1)/8

⇒ sin(-π/5) = -√[(5 - √(5))/8]= -√(5 - √(5))/2√(2)

Je te laisse réfléchir aux erreurs commises...
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