Bonjour ;
Prélude :
Considérons le repère orthogonal (A ; AB ; AD ; AE) ;
donc on a : A(0 ; 0 ; 0) , B(a ; 0 ; 0) , D(0 ; a ; 0) , C(a ; a ; 0) ,
E(0 ; 0 ; a) , F(a ; 0 ; a) , H(0 ; a ; a) , G(a ; a ; a) .
P est le milieu de [EG] , donc on a : P(a/2 ; a/2 ; a) .
Q est le milieu de [BG] , donc on a : Q(a ; a/2 ; a/2) .
M est le milieu de [PQ] , donc on a : M(3/4 a ; a/2 ; 3/4 a) .
1)
PQ = AQ - AP ;
donc : PQ(a - a/2 ; a/2 - a/2 ; a/2 - a) ;
donc : PQ(a/2 ; 0 ; - a/2) ;
donc : PQ² = (a/2)² + 0² + (a/2)² = a²/4 + a²/4 = a²/2 ;
donc : PQ = a/√2 = a (√2)/2 .
AP(a/2 ; a/2 ; a) ;
donc : AP² = a²/4 + a²/4 + a² = 6/4 a² ;
donc : AP = (√6)/2 a .
AQ(a ; a/2 ; a/2) ;
donc : AQ² = a² + a²/4 + a²/4 = 6/4 a² ;
donc : AQ = (√6)/2 a .
2)
PQ² = (AQ - AP)² = AQ² + AP² - 2 AQ AP cos(PAQ) ;
donc : a²/2 = 6/4 a² + 6/4 a² - 2 a (√6)/2 * a (√6)/2 cos(PAQ)
= 3/2 a² + 3/2 a² - 2 a² (√6)²/4 cos(PAQ)
= 3a² - 3a² cos(PAQ)
donc : a²/2 - 3a² = - 3a² cos(PAQ) ;
donc : - 5/2 a² = - 3a² cos(PAQ) ;
donc : cos(PAQ) = 5/6 ;
donc : PAQ ≈ 33,56° ≈ 34° .
3)
Soit S l'aire du triangle APQ ;
donc : S = 1/2 AP * AQ sin(PAQ) = 1/2 a (√6)/2 * a (√6)/2 sin(PAQ)
= 1/2 a² * 6/4 sin(PAQ) = 3/4 a² sin(PAQ) .
On a : sin²(PAQ) = 1 - cos²(PAQ) = 1 - (5/6)² = 1 - 25/36 = 11/36 ;
donc : sin(PAQ) = (√11)/6 .
On a donc : S = 3/4 a² (√11)/6 = (√11)/8 a² .
