Rebonjour,
Il faut en fait partir du terme de droite.
[tex]1- \frac{1}{2}sin^2*2x[/tex]
Tu mets sur le même dénominateur :
[tex]1- \frac{1}{2}sin^2*2x [/tex]
[tex]= \frac{2}{2} - \frac{1sin^2(2x)}{2} [/tex]
[tex]= \frac{2-sin^2(2x)}{2} [/tex]
Tu retournes une formule :
[tex]cos^2x+sin^2x = 1 [/tex]
[tex]-sin^2x = cos^2x-1[/tex]
Tu remplaces :
[tex] \frac{2+(cos^x-1)*2x}{2} [/tex]
Factorise cos²x - 1 en utlisant une identité remarquable.
[tex]cos^2x-1 = cos^2 -1^2 = \left(\cos \left(x\right)-1\right)\left(\cos \left(x\right)+1\right)[/tex]
[tex]= \frac{2-[(cos(x)-1)(cos(x)+1)]*2}{2} [/tex]
Tu distribues le 2.
[tex]= \frac{2-(cos(2x)-1)(cos(2x)+1)}{2}[/tex]
Maintenant, regardons le numérateur et simplifions le :
[tex]2-(cos(2x)-1)(cos(2x)+1)=2+(cos(2x)-1) (cos(2x)+1) [/tex]
Bah tu développes ici :
a² - b² = (a-b)(a+b)
Ici, a = cos(2x) et b = 1
Donc ça donne : [tex] (cos(2x)-1) (cos(2x)+1) = cos^2(2x) - 1[/tex]
Puis on recontinue,
[tex]2 + cos^2(2x) - 1 = cos^2(2x) -1 + 2 = cos^2(2x) + 1 [/tex]
Du coup, maintenant on revient avec la fraction qui est maintenant beaucoup plus légère !!!!
[tex]= \frac{1+cos^2(2x)}{2} [/tex]
Mais on va recompliquer la chose ^^'. On sait que :
[tex]cos^2x+sin^2x = 1 [/tex]
Donc appliquons la !
[tex]= \frac{sin^2(2x)+cos^2(2x)+cos^2(2x)}{2} [/tex]
Après t'as du apprendre que : [tex]\sin \left(2x\right)=2\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)[/tex]
Donc utilisons la !
[tex]\frac{\left(2\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)\right)^2+2\cos ^2\left(2x\right)}{2}[/tex]
Le 2cos, c'est parce qu'on a addtioné les 2 cos ok ? :D
On simplifie maintenant ! Pour cela, on applique la règle :
[tex]a^n*b^n= (a*b)^n [/tex]
ça donne :
[tex]= \frac{2^2cos^2(x)sin^2(x)+2cos^2(2x)}{2} [/tex]
[tex]= \frac{4cos^2(x)sin^2(x)+2cos^2(2x)}{2}[/tex]
Occupe toi à nouveau du numérateur et factorise le par 2 !
[tex]4cos^2(x)sin^2(x)+2cos^2(2x) = 2(cos^2(x)sin^2(x)+cos^2(2x)[/tex]
Tu reviens à la fraction, ça donne :
[tex]\frac{2(cos^2(x)sin^2(x)+cos^2(2x)}{2} [/tex]
Tu simplifies par 2 :
[tex]= cos^2(x)sin^2(x)+cos^2(2x)[/tex]
[tex]=\cos ^2\left(2x\right)+2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)[/tex]
Puis, tu vas utiliser ça : [tex]\cos \left(2x\right)=\cos ^2\left(x\right)-\sin ^2\left(x\right)[/tex]
[tex]=\left(\cos ^2\left(x\right)-\sin ^2\left(x\right)\right)^2+2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)[/tex]
Tu simplifies encore une fois !!!!!!!
[tex]\left(\cos ^2\left(x\right)-\sin ^2\left(x\right)\right)^2+2\cos^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)[/tex]
[tex]= \left(\cos ^2\left(x\right)-\sin ^2\left(x\right)\right)^2[/tex]
[tex]=\cos ^4\left(x\right)-2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)+\sin ^4\left(x\right)[/tex]
On applique cette formule : [tex] \left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2[/tex]
[tex]=\left(\cos ^2\left(x\right)\right)^2-2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)+\left(\sin ^2\left(x\right)\right)^2[/tex]
Et tu resimplifies !!!! (J'en ai marre de simplifier autant !)
Pour cela tu utilises ça : [tex]\left(a^b\right)^c=a^{bc}[/tex]
[tex]\left(\cos ^2\left(x\right)\right)^2=\cos ^4\left(x\right)[/tex]
[tex](sin^2(x)^2))^2 = sin^4(x)
[/tex]
On obtient donc :
[tex]=\cos ^4\left(x\right)-2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)+\sin ^4\left(x\right)+2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)[/tex]
Tu regroupes les termes :
[tex]= \cos ^4\left(x\right)+\sin ^4\left(x\right)-2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)+2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)[/tex]
Il n'y donc plus de : [tex]2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)[/tex]
Et enfin on obtient :
[tex]= \boxed {cos^4(x)+sin^4(x)}[/tex]
J'espère t'avoir aidé !
Dreamus
