Bonjour,
f(x) = (4x - 3)/(x² + 1)
1) f est de la forme u/v
avec u(x) = 4x - 3 ⇒ u'(x) = 4
et v(x) = x² + 1 ⇒ v'(x) = 2x
⇒ f'(x) = [4(x² + 1) - (4x - 3)(2x)]/(x² + 1)²
= (4x² + 4 - 8x² + 6x)/(x² + 1)²
= (-4x² + 6x + 4)/(x² + 1)²
= 2(-2x² + 3x + 2)/(x² + 1)²
signe du numérateur :
Δ = 3² - 4.(-2).2 = 9 + 16 = 25 = 5²
⇒ 2 racines : x = (-3 - 5)/-4 = 2 et x = (-3 + 5)/-4 = -1/2
⇒ f'(x) = -4(x - 2)(x + 1/2)/(x² + 1)²
x -∞ -1/2 2 +∞
(x - 2) - - 0 +
(x + 1/2) - 0 + +
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) décrois. crois. décrois.
2) la dérivée seconde s'annule pour 3 valeurs de x, donc 3 points d'inflexion
