Bonjour!
* Resolution (1)
[tex]2\:lnx + ln(2x - 2) \geq ln(x - 1) + ln(3x + 2)[/tex]
[tex]2\:log(x) + log(2x - 2) \geq log(x - 1) + log(3x + 2)[/tex]
[tex]2\:log(x) - log(3x + 2) \geq - log(2x - 2) + log(x - 1) [/tex]
[tex]2\:log(x) - log(3x + 2) \geq - log(2) [/tex]
[tex]2\:log(x) + log(2) \geq log(3x + 2)[/tex]
[tex]log(2x^2) \geq log(3x+2)[/tex]
le sens de l'inégalité reste pour les logarithmes en base 10
[tex]2x^2 \geq 3x+2[/tex]
[tex]2x^2 - 3x - 2 \geq 0[/tex]
[tex]2x^2 - 4x + x - 2 \geq 0[/tex]
[tex]2x(x-2)+1(x-2) \geq 0[/tex]
[tex](x-2)(2x+1) \geq 0[/tex]
[tex]x - 2 \geq 0[/tex]
[tex]\boxed{\boxed{x \geq 2}}\end{array}}\qquad\checkmark[/tex]
[tex]2x + 1 \leq 0[/tex]
[tex]2x \leq -1[/tex]
[tex]
\boxed{\boxed{x \leq -\dfrac{1}{2}}}\end{array}}\qquad\checkmark[/tex]
La parabole est orientée vers le haut, la solution à l'inégalité du produit est:
[tex]\underline{R\'eponse:\:\:\boxed{x \leq -1/2\:\:ou\:\:x \geq 2}}
[/tex]
* Remarque:
Si vous voulez vérifier la condition d'existence, voyez comment:
[tex]2x^2 \ \textgreater \ 0\:\:\:e\:\:\:3x + 2 \ \textgreater \ 0[/tex]
[tex]x^2 \ \textgreater \ 0\:\:\:e\:\:\:3x + 2 \ \textgreater \ 0[/tex]
[tex]x\ \textgreater \ -\dfrac{2}{3} [/tex]
donc :
[tex]-2/3 \ \textless \ x \leq -\frac{1}{2}\:\:ou\:\:x \geq 2[/tex]
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** Resolution (2)
[tex]2e^{2x} - 5e^x + 2e^{-x} + 1 =0[/tex]
[tex]2e^{x*2} - 5e^x + \dfrac{2}{e^{x}} + 1 = 0 [/tex]
adopter: [tex]e^x = y[/tex]
[tex]2y^{2} - 5y + \dfrac{2}{e^{x}} + 1 = 0[/tex]
[tex] \dfrac{2y^3}{y\!\!\!\!\!\!\!\dfrac{\hspace{0.5cm}}{~}} - \dfrac{5y^2}{y\!\!\!\!\!\!\!\dfrac{\hspace{0.5cm}}{~}} + \dfrac{2}{y\!\!\!\!\!\!\!\dfrac{\hspace{0.5cm}}{~}} + \dfrac{y}{y\!\!\!\!\!\!\!\dfrac{\hspace{0.5cm}}{~}} = 0 [/tex]
[tex]2y^3 - 5y^2 + 2 + y = 0 [/tex]
[tex]2y^3 - 5y^2 + y + 2 = 0 [/tex]
[tex]
(y-1)*(y-2)*(y+\dfrac{1}{2}) = 0[/tex]
[tex]y-1=0
\boxed{y = 1}[/tex]
[tex]y-2=0
\boxed{y = 2}
[/tex]
[tex]y+ \dfrac{1}{2} = 0[/tex]
[tex]\boxed{y = - \dfrac{1}{2} }[/tex]
si: [tex]e^x = y,\:avec\:\:y \ \textgreater \ 0[/tex]
[tex]c'est-\`a-dire\:que\:les\:solutions\:qui\:ont\:donn\'e\:y \leq 0\:ne\:serviront\:pas[/tex]
[tex]e^x = 1
\underline{R\'eponse:\boxed{\boxed{x = log_e\:1}}\end{array}}\qquad\checkmark}[/tex]
[tex]e^x = 2
\underline{R\'eponse:\boxed{\boxed{x = log_e\:2}}\end{array}}\qquad\checkmark}[/tex]
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J'espère avoir aidé! =)
