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résolu

bonjour j'ai besoin d'aide pour m'expliquer avec des calculs simples cet exercice

On découpe dans une feuille d’acier de forme rectangulaire 4 carrés identiques de x cm de côté à chaque coin afin d’effectuer une boîte parallélépipédique sans couvercle comme représentée ci-contre.

On désire déterminer la valeur de x afin que le volume soit le plus grand possible.

1. Exprimer en fonction de x, la longueur L et la largeur de la boîte.

2. Expliquer pourquoi x appartient ]0 ; 6[.

3. Pour tout x de ]0 ; 6[, on note V (x) le volume de la boîte correspondante.
a. Montrer que V (x ) = 4x^3 −88x² + 384x .
b. Déterminer la fonction dérivée V ’ de la fonction V. Déterminer des valeurs arrondies au dixième des solutions de l’équation V’(x) = 0 et en déduire le signe de V’ sur ]0 ; 6[.
c. En déduire le tableau des variations de V.

Merci d'avance pour votre aide

Répondre :

CROISIERFAMILYVIZ
soit une feuille de métal de 12 cm de large et de 32 cm de long . Il faut bien que x soit inférieur à 12 / 2 = 6 cm, donc x appartient bien à l' intervalle ] 0 ; 6 [ .
Aire TOTALE de cette feuille de métal = 12 x 32 = 384 cm² .
Longueur de la boîte = ( 32 - 2x ) ; largeur de la boîte = (12 - 2x ) ; Aire du fond de la boîte = ( 32 - 2x ) ( 12 - 2x ) = 384 - 88x + 4 x² . Volume de la boîte = ( 4 x² - 88x + 384 ) * x = 4 x³ - 88 x² + 364x .
dérivée du Volume = V ' (x) = 12 x² - 176x + 364 . Cette dérivée est nulle pour  x ≈ 2,4914 cm OU x = 12,175 cm .On retiendra seulement que v ' (x) est positive pour 0 < x < 2,5 cm,puis négative pour 2,5 ≤ x < 6 .
tableau :x           0          1          2,5         3            4,5           6V'(x)                  +           0                          -V(x)      0         28o      422,5     4o8        22o,5     -12o  
conclusion : on peut admettre que le Volume MAXI sera obtenu pour x = 2,5 cm, ce Vmaxi sera alors voisin de 422 cm³ ( j' ai fait exprès d' arrondir en dessous car le pliage de la tôle prend bien un peu de matière --> le Volume réel mesuré serait proche de 4o5 cm³ ! ) . Un prof de maths s' en doute, un ingénieur le sait ...

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