Bonjour,
La formule de l'intégration par parties est [tex] \int\limits^b_a {u'(x)v(x)} \, dx = [u(x)v(x)]_a^b-\int\limits^b_a {u(x)v'(x)} \, dx[/tex], où u et v sont deux fonctions réelles définies et dérivables sur [a;b].
Si on remplace par exemple la fonction v par la fonction carrée, alors u serait une primitive de la fonction cos, par exemple la fonction sin.
On aurait alors u : t ↦ sin(t) et v : t ↦ t²
On va alors appliquer la formule d'intégration par parties :
[tex]\int\limits^\pi_0 {t^2cos(t)} \, dt = [t^2sin(t)]^\pi_0-\int\limits^\pi_0 {2tsin(t)} \, dt=[t^2sin(t)]^\pi_0-2\int\limits^\pi_0 {tsin(t)} \, dt[/tex]
Or [tex][t^2sin(t)]^\pi_0=\pi^2sin(\pi)-0^2sin(0)=\pi^2(0)-0*0=0[/tex]
D'où [tex]\int\limits^\pi_0 {t^2cos(t)} \, dt = -2\int\limits^\pi_0 {tsin(t)} \, dt[/tex]
On va alors reprendre la formule d'intégration par parties. en remplaçant u' par la fonction sin et v par la fonction identité.
On aurait alors u : t ↦ -cos(t) et v : t ↦ t
On ré-applique ainsi la formule d'intégration par parties :
[tex]-2\int\limits^\pi_0 {tsin(t)} \, dt=-2([-tcos(t)]^\pi_0-\int\limits^\pi_0 {-cos(t)} \, dt)[/tex]
Or [tex][-tcos(t)]^\pi_0=-\pi cos(\pi)-(-0cos(0))=-\pi(-1)+0=\pi[/tex]
D'où [tex]-2\int\limits^\pi_0 {tsin(t)} \, dt=-2(\pi-\int\limits^\pi_0 {-cos(t)} \, dt)=-2\pi+\int\limits^\pi_0 {-cos(t)} \, dt[/tex]
On a alors [tex]\int\limits^\pi_0 {t^2cos(t)} \, dt=-2\pi+\int\limits^\pi_0 {-cos(t)} \, dt[/tex]
Or on sait que [tex]\int\limits^\pi_0 {-cos(t)} \, dt=[-sin(t)]_0^\pi=-sin(\pi)-(-sin(0))=-0+0=0[/tex]
Donc [tex]\int\limits^\pi_0 {t^2cos(t)} \, dt=-2\pi[/tex]
