Bonjour,
Soit a b c d le nombre à 4 chiffres recherché.
Prenons les infos une à une : divisible par 5 => le chiffre des unités est 0 ou 5
Le nombre est divisible par 9 --> la somme de tous les chiffres est égale à 9 ou à un multiple de 9. Donc a + b + c + d = 9k
Le chiffre des dizaines est le double du chiffre des centaines : donc c = 2b
On a donc a b 2b d avec a+2b+b+d = a + 3b + d = 9k
Le chiffre des unités de mille divise tous les nombres : ce chiffre est a. Le seul chiffre qui divise tous les nombres sont 1. Si a =1, b, c et d sont quelconques. Si a=2, il faut que b, c et d soient pairs (4,6,8). a ne peut être égal à rien d'autre (3 divise 6 et 9 seulement, 4 ne divise que 8 etc).
SI a = 2 : on a 2+ 3b + d = 9k
Or d = 0 ou 5.
SI d =0 et a=2 : on a alors 2 b 2b 0 est impossible. En effet, il faut que 2+3b = 9k. 2+3b=9 ssi b=7/3 impossible, 2+3b=18 ssi b = 16/3 impossible etc.
Donc d = 5.
On a alors a 2 b 2b 5.
2 + 3b + 5 = 9k ssi 3b = 9k -7. Impossible pour 9, pour 18, pour 27 etc
Donc a n'est pas égal à 2. Ainsi a= 1.
On a donc le nombre 1 b 2b d.
Si d = 0: 1 b 2b 0 avec 1 +3b = 9k. Impossible pour 9 (il faudrait b = 8/3), pour 18, pour 27 etc. Donc d n'est pas égal à 0, par conséquent d =5.
On a donc a= 1 et d=5, soit le nombre 1 b 2b 5.
1+ b +2b +5 = 9k <=> 3b +6 = 9k
Pour 9 ne fonctionne pas (b=1 or b et a doivent être différents).
Pour 18, b= 4: on aurait alors 1485. Voyons si cela fonctionne : 1485 est divisible par 5 et par 9 (1465 = 9*165), le chiffre des dizaines (8) est le double de celui des centaines (4), tous les chiffres sont différents, et le chiffre des unités de mille (1) divise clairement tous les nombres.
Donc 1485 fonctionne !
Il y avait peut-être plus rapide, mais cette méthode "pas à pas" fonctionne aussi ...
