la continuité d'une fonction en un point a
soit f une fonction définie sur I et soit a ∈ I
f est continue en a ssi f a une limite en a égale à f (a)
lim f(x) = f(a)
x→a
en particulier f est continue en a ssi lim f (x) = lim f(x) = f(a)
x →a x< a x→a x>a
dans le cas de l'exercice donné f (x) = x*√(1 - x)/(1+x) si |x| < 1
f (x) = x² - x si |x| ≥ 1
1) Etudier la continuité de f en - 1 et 1
on sait |x| < 1 ⇒ si x > 0 ⇒ x < 1
⇒ si x < 0 ⇒ - x < 1 ⇒ x > - 1
lim f (x) = lim x*√(1 - x)/(1+x) = 1 *√(1-1)/(1 + 1) = 1*√0/2 = 0 ⇒ f est continue en 1
x→1 x<1 x→1 x<1
lim f (x) = lim x*√(1 - x)/(1+x) = - 1 *√(1+1)/(1 - 1) = -1*√2/0 = - ∞
x→ -1 x>-1 x→ -1 x> - 1
on voit bien qu'en - 1 f n'est pas continue
|x| ≥ 1 ⇒ si x > 0 ⇒ x ≥ 1
⇒ si x < 0 ⇒ - x ≥ 1 ⇒ x ≤ - 1
lim f (x) = lim x² - x = 1 - 1 = 0
x→1 x ≥ 1 x→ 1 x ≥1
lim f (x) = lim x² - x = 1 + 1 = 2
x→ - 1 x < - 1
la fonction f est continue en 1 mais elle est discontinue en - 1
2) f est continue sur l'intervalle R - {- 1}
