Bonjour,
L'orthocentre est le point d'intersection des hauteurs.
Calculons l'équation des hauteurs issues de A et de B.
Hauteur issue de A :
Le coefficient directeur de la droite (BC) est [tex] \frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\frac{1-3}{-5-1}=\frac{1}{3} [/tex]
La hauteur issue de A a donc pour coefficient directeur -3.
La hauteur issue de A a une équation de la forme [tex] y=-3x+k' [/tex] avec k' un réel.
La hauteur passe par A donc ses coordonnées vérifient l'équation :
[tex] 3=-3\times 0+k' \Longrightarrow k'=3 [/tex]
La hauteur issue de A a pour équation [tex] y=3x+3 [/tex]
Hauteur issue de B :
La droite (AC) a pour coefficient directeur [tex] \frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{1-3}{-5-0}=\frac{2}{5} [/tex]
La hauteur issue de B a donc pour coefficient directeur [tex] -\frac{5}{2} [/tex]
La hauteur issue de B a une équation de la forme [tex] y=\frac{-5}{2}x+k [/tex] avec k un réel.
Elle passe par B donc ses coordonnées vérifient l'équation :
[tex] 3=\frac{-5}{2}\times 1+k \Longrightarrow k=\frac{11}{2} [/tex]
L'équation de la hauteur issue de B est [tex] y=-\frac{5}{2}x+\frac{11}{2} [/tex]
H(x,y) vérifie le système suivant : :
[tex] \left \{ {{y=-\frac{5}{2}x+\frac{11}{2}} \atop {y=-3x+3}} \right. \\\\ \Longleftrightarrow \frac{1}{2}x +\frac{5}{2} =0 \\\\ \Longleftrightarrow \boxed{x=-5}\\\\ \Longrightarrow y=3\times(-5)+3\\\\\ \Longleftrightarrow \boxed{ y= -12 } [/tex]
Finalement : [tex] H(-5,-12) [/tex]
