Réponse : Bonjour,
Une équation de la tangente T à f au point d'abscisse 1 est:
[tex]y=f'(1)(x-1)+f(1)[/tex].
On a:
[tex]f'(x)=2-\frac{3}{x^{2}}\\f'(1)=2-\frac{3}{1^{2}}=2-3=-1\\f(1)=2 \times 1-1+\frac{3}{1}=2-1+3=4[/tex].
Donc l'équation de la tangente T est:
[tex]y=-(x-1)+4=-x+1+4=-x+5[/tex].
Pour étudier la position de la courbe C par rapport à T, on calcule la différence:
[tex]f(x)-(-x+5)=2x-1+\frac{3}{x}+x-5=3x+\frac{3}{x}-6=\frac{3x^{2}+3-6x}{x}[/tex].
Il faut donc étudier le signe de [tex]\frac{3x^{2}+3-6x}{x}[/tex], pour [tex]x \in ]0;+\infty[[/tex].
Le dénominateur est toujours positif, car [tex]x \in ]0;+\infty[[/tex].
Il faut donc étudier le signe du numérateur, [tex]3x^{2}+3-6x[/tex].
On calcule le discriminant de ce trinôme:
[tex]\Delta=(-6)^{2}-4 \times 3 \times 3=36-36=0[/tex].
Donc [tex]3x^{2}+3-6x[/tex] est du signe de 3, donc positif, pour tout [tex]x \in ]0;+\infty[[/tex].
On en déduit que [tex]f(x)-(-x+5) \geq 0[/tex], pour tout [tex]x \in ]0;+\infty[[/tex], et donc [tex]f(x) \geq -x+5[/tex], pour tout [tex]x \in ]0;+\infty[[/tex].
Conclusion: La courbe C est au dessus de T, sur l'intervalle [tex]]0;+\infty[[/tex].
