Bonjour,
dérivée : fn'(x) = 5x⁴ + n
s'annule si x⁴ = -n/5
2 cas :
1) n > 0 : pas de solution (x⁴ ≥ 0) donc fn strictement croissante
2) n < 0 : 2 solutions x = + ou - racine 4ème de (-n/5)
donc fn croissante sur ]-∞ ; -(-n/5)^1/5[ puis décroissante sur ] -(-n/5)^1/5 ; (-n/5)^1/5[, puis enfin croissante sur ] (-n/5)^1/5 ; +∞[.
Ci-joint f₋₅ en bleu et f₅ en rouge pour exemples.
2nde question :
lim fn quand x → -∞ = lim x⁵ = -∞
et lim fn quand x → +∞ = +∞
Donc :
1er cas : fn croissante sur R ⇒ il existe un unique Un / fn(Un) = 0
2nd cas : il existe au moins une valeur Un / fn(Un) = 0
(pour f₋₅ il y a 2 valeurs, pour f₋₁ une seule)
Sans précision j'ai pris n entier relatif. Si n ∈ N*, soit n > 0, alors plus simplement, f'n(x) > 0 ⇒ fn strictement croissante ⇒ avec les limites en - et +∞, on en déduit qu'il existe une unique valeur Un / fn(Un) = 0
(théorème des valeurs intermédiaires)
