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résolu

Bonjour/bonsoir!

Je suis en terminale S et en on a commencé les suites par récurrence, j'ai à peu près compris le cours et ce qu'il faut faire pour démontrer par récurrence (Avec l'initialisation et l'hérédité etc...) , j'ai donc commencé quelques exercices ; et la boum! Je n'arrive pas à le faire. Voici l'énoncé de l'exo en question :

"Démontrer par récurrence que, pour tout entier n non nul, on a : n! >= 2^n-1 "

Alors voilà j'ai fait l'initialisation qui n'est pas très compliquée, mais cependant je bloque quand on arrive à l'hérédité, je ne sais pas quoi écrire pour démontrer ce qui est demandé! Pouvez vous m'aider svp merci d'avance.

Quentin

Répondre :

SCOLADANVIZ

Bonjour,

Au rang n = 1 : 1! = 1 et 2¹⁻¹ = 2⁰ = 1 donc propiété vérifiée

hypothèse de récurrence : n! ≥ 2ⁿ⁻¹

Au rang n+1 :

n! ≥ 2ⁿ⁻¹

⇒ (n + 1)n! ≥ (n + 1)2ⁿ⁻¹

⇔ (n + 1)! ≥ (n + 1)2ⁿ⁻¹

Or, pour tout n ≥ 1, (n + 1) ≥ 2

Donc (n + 1)2ⁿ⁻¹ ≥ 2 x 2ⁿ⁻¹

Soit (n + 1)! ≥ 2ⁿ

Récurrence démontrée

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