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résolu

Soit la suite définie par

u(0)= 0

u(n+1)= u(n) + 2(n+1)


Doit doit affirmer ou nier en justifiant trois propositions:


1. "la suite u(n) est arithmétique"

u(n+1)-u(n)= u(n)+2n+2-u(n)= 2n+2 donc la suite n'est pas arithmétique


2. "Il existe au moins une valeur de n pour laquelle u(n)=n2+1"

u(1)=2 et 2= 12+1 donc la proposition est vraie


3. "Pour toutes valeurs de n, on a u(n)= n2+n"

je vois que cette proposition est vraie mais je ne sais pas comment le prouver/ justifier


Merci de votre vérification et de votre aide

Répondre :

3) il faut utiliser la démonstration par récurence

* initialisation ⇒ il existe au moins une valeur de n pour laquelle Un = n² + 1

il faut vérifier que P(1) est vraie ⇒ U1 = 2 = 1² + 1 = 2 donc P(1) est vraie

* Héridité ⇒ on suppose que pour tout n, P(n) est vraie ⇒ Un = n² + n

il faut montrer que P(n+1) est vraie

Un+1 = (n+1)² + n+1 = n² + 2 n + 1 + n + 1

⇔ Un+1 = Un + 2(n+1) = n²+n + 2 n + 2 = Un + 2(n+1) ⇒ pour tout n ; P(n+1) est vraie

*Conclusion P(1) est vraie et P(n) est hériditaire pour tout n, donc par récurence P(n) est vraie pour tout n

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