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résolu

Bonjour, je suis bloquée sur un exo de mon dm, donc si une âme charitable se dévoue à m'aider je suis preneuse!

On considère la suite (Un) définie par U0= 2 et pour tout entier naturel n, par Un+1 =3Un - 2 / 2Un - 1.

Sur le graphique ci-dessous sont tracés la courbe C représentative de la fonction f définie pour tout réel x de l'intervalle ]1/2 ; + [ par f(x)= 3x-2/2x-1, ainsi que la droite de l'équation y=x.

Les questions précédentes m'ont fait placer sur le graphique U0 , U1, U2 et U3. J'ai pu conjecturer le sens de variation et de convergence de la suite (Un). J'ai étudié les variations de la fonction f sur [1;+ [ , démontré par récurrence que pour tout entier n, Un 1 et que la suite était décroissante.

Voici maintenant la question à laquelle je suis bloquée: Exprimer Un+1 - Un en fonction de Un, étudier son signe et retrouver le résultat établi dans la question précédente ( démontrer par récurrence que la suite (Un) est décr

Répondre :

Bonjour ;

[tex] u_{n+1} - u_n = \dfrac{3u_n-2}{2u_n-1} - u_n = \dfrac{3u_n - 2 -2u_n^2 + u_n}{2u_n - 1} = \dfrac{-u_n^2 + 4u_n - 2}{2u_n-1} \\\\\\ = -2\dfrac{u_n^2 - 2u_n + 1}{2u_n - 1} = - 2\dfrac{(u_n-1)^2}{2u_n - 1} = - \dfrac{(u_n-1)^2}{u_n - \dfrac{1}{2}} \ . [/tex]

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