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résolu

dans un vieux manuel de mathématiques Srinivasa trouve la formule donnant la longueur des médianes d'un triangle en fonction de la longueur des trois côtés.

L²=1/4(2a²+2b²-c²)


Srnivasa est curieux de prouver cette formule.

on se place dans un repere orthonormé d'origine A où (AB) est l'axe des abscisses .


1) Quelles sont les coordonnée de A et de B?(voir image)


2)Quelles sont les coordonnée du milieu I de [AB]?


3)On note (Xc;Yc) les coordonnées du point C

prouver que L²=IC²=X²c+Y²c-c Xc+c²/4


4)Calculer a² et b² en fonction de Xc; Yc et c. Donner les resultats sous forme developpée.


5)établir laformule du Livre de srinivasa

Répondre :

CAYLUSVIZ

Bonjour,


1)

Soit A=(0,0) , B=(c,0), C=(u,v)

2)

I=(c/2,0)

3)

L²=IC²=(u-c/2)²+(v-0)²

=u²-2uc/2+c²/4+v²

L²=u²+v²-uc+c²/4


4)

a²=(u-c)²+(v-0)²=u²+v²-2uc+c²

b²=(u-0)²+(v-0)²=u²+v²

==> a²=b²-2uc+c² ==>uc=(b²-a²+c²)/2


5)

L²=u²+v²-uc+c²/4

=b²-(b²-a²+c²)/2+c²/4

=(4b²-2b²+2a²-2c²+c²)/4

L²=(2a²+2b²-c²)/4



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