Répondre :
(P) : f(x) = - 4 x² + 30 x + 10 et (d) : g(x) = 6 x + 30
1) Représenter les deux courbes
(P) est une parabole tournée vers le bas, le sommet de la parabole est
f '(x) = - 8 x + 30 ⇒ f '(x) = 0 = - 8 x + 30 ⇒ x = 30/8 = 3.75
f(30/8) = - 4 (3.75)² + 30 (3.75) + 10 = - 14.06 + 112.5 + 10 = 108.44
S(3.75 ; 108.44)
f(x) = - 4 x² + 30 x + 10 = 0
Δ = 900 + 160 = 1060 ⇒√1060 = 32.57
x1 = - 30 + 32.57)/- 8 = - 0.32
x2 = - 30 - 32.57)/-8 = 7.8
La courbe P coupe l'axe des abscisse en x = - 0.32 et x = 7.8
La courbe coupe l'axe des ordonnées en f(0) = 10
la droite d représentée par la fonction g(x) = 6 x + 30 est croissante (a = 6>0)
a pour ordonnée à l'origine g(0) = 30
et coupe l'axe des abscisses en x = - 5
je vous laisse le soin de les tracer vous même
2) donner le tableau de variation des deux fonctions
x - ∞ 3.75 + ∞
f(x) + ∞→→→→→→→→→ 108.44→→→→→→ - ∞
croissante décroissante
x - ∞ - 5 + ∞
g(x) - ∞→→→→→→→→→→0→→→→→→→→→ + ∞
croissante
tableau de signe de g(x)
x - ∞ - 5 + ∞
6x + 10 - 0 +
3) conjecturer graphiquement les points d'intersection des deux courbes
4la droite d coupe la courbe P aux points A(1 ; 35) et B(4.9 ; 59)
la position relative des deux courbes
la courbe P est au dessus de la droite d entre ]1 ; 4.9[
La courbe P est en dessous de la droite d entre ]- ∞; 1[ et ]4.9 ; + ∞[
Seconde partie
1) montrer que pour tous les réels x , on a f(x) - g(x) = - 4 x² + 24 x - 20
f (x) - g (x) = - 4 x² + 30 x + 10 - (6 x + 30) = - 4 x² + 30 x + 10 - 6 x - 30)
= - 4 x² + 24 x - 20
2) montrer que pour tous les réels x on a :
- 4(x - 3)²+ 16 = - 4 x² + 24 x - 20
- 4(x - 3)²+ 16 = - 4(x² - 6 x + 9) + 16
= - 4 x² + 24 x - 36 + 16
= - 4 x² + 24 x - 20
3) f (x) = g (x) ⇒ f (x) - g(x) = 0 = - 4 x² + 24 x - 20
⇔ - 4(x² - 6 x + 5) = 0 ⇔ x² - 6 x + 5 = (x - 5)(x - 1) = 0 ⇒ x = 5 ; x = 1
A(1 ; 36) B(5 ; 60)
pour étudier la position relative des deux courbes
étude du signe de f (x) - g (x)
f (x) - g(x) = - 4(x - 1)(x - 5)
x - ∞ 1 5 + ∞
x - 1 - 0 + +
x - 5 - - 0 +
P + 0 - 0 +
f(x) - g(x) - + -
f (x) - g (x) < 0 la courbe P est en dessous de d ]- ∞ ; 1[ et ]5 ; + ∞[
f (x) - g(x) > 0 la courbe P est au dessus de d ]1 ; 5[
Merci d'avoir visité notre site Web, qui traite d'environ Mathématiques. Nous espérons que les informations partagées vous ont été utiles. N'hésitez pas à nous contacter pour toute question ou demande d'assistance. À bientôt, et pensez à ajouter ce site à vos favoris !