Bonjour;
Partie A .
1)
[tex] f'(x) = (5)' - (e^{-0,2x+1})' = 0 - (-0,2x+1)' e^{-0,2x+1} \\\\\\ = - (-0,2)e^{-0,2x+1} = 0,2e^{-0,2x+1} > 0 \ pour \ x\in [1;10] \ , \\\\\\ donc \ f \ est \ strictement \ croissante \ pour \ x\in [1;10] \ . [/tex]
2)
[tex] f(x) \geq 3,5 \Leftrightarrow 5 - e^{-0.2x+1} \geq 3,5 \Leftrightarrow 5 - 3,5 \geq e^{-0.2x+1} \\\\\\ \Leftrightarrow 1,5 \geq e^{-0.2x+1} \Leftrightarrow Ln(1,5) \geq -0,2x + 1 \Leftrightarrow 0,2x \geq 1 - Ln(1,5) \\\\\\ x \geq \dfrac{1-Ln(1,5)}{0,2} \approx 2,97 \\\\\\ donc \ f(x)\geq 3,5 \ pour \ x \in [\dfrac{1-Ln(1,5)}{0,2} ; 10] \ . [/tex]
PARTIE A
1) montrer que la fonction f est strictement croissante sur [1 ; 10]
f (x) = 5 - e^⁻(0.2 x - 1)
f ' (x) = 0.2* e^⁻(0.2 x - 1) = 0.2/(e^(0.2 x - 1)) puisque x ∈ [1 ; 10]
⇒ f '(x) > 0 ⇒ f (x) est strictement croissante sur [1 ; 10]
2) résoudre algébriquement l'inéquation f (x) ≥ 3.5
⇔ f (x) = 5 - e^⁻(0.2 x - 1) ≥ 3.5 ⇔ 5 - 3.5 ≥ e^⁻(0.2 x - 1) ⇔ 1.5 ≥ e^⁻(0.2 x - 1)
⇔ ln(1.5) ≥ ln(e^⁻(0.2 x - 1) )
⇔ 0.4 ≥ - 0.2 x + 1
⇔ - 0.2 x + 1 ≤ 0.4 ⇔ - 0.2 x + 0.6 ≤ 0 ⇒ x ≥ 0.6/0.2 ⇒ x ≥ 3
x 1 3 10
- 0.2 x + 0.6 + 0 -
l'ensemble des solutions de l'inéquation est S = [3 ; 10]