Bonjour,
méthode générale si on ne voit pas de majorant (ou minorant) évident : Montrer que la suite est convergente et croissante (ou décroissante)
a) Un = (n + 3)/(2n + 1)
lim Un en +∞ = lim n/2n = 1/2 ⇒ (Un) convergente
Un+1 - Un = (n + 4)/(2n + 3) - (n + 3)/(2n + 1)
= [(n + 4)(2n + 1) - (n + 3)(2n + 3)]/(2n + 1)(2n + 3)
= (2n² + n + 8n + 4 - 2n²- 3n - 6n - 9)/(2n + 1)(2n + 3)
= -5/(2n + 1)(2n + 3)
⇒ Un+1 - Un < 0 ⇒ (Un) est décroissante
(Un) décroissante et convergente ⇒ (Un) est minorée par 1/2
De plus, Un < U₀ = 3 ⇒ (Un) est majorée par 3
⇒ (Un) est bornée
b) Même méthode en utilisant une fonction auxilliaire : f(x) = (x - 1)/(2x - 3) est décroissante sur [0;3/2[ et décroissante sur ]3/2;+∞[ (car non définie en x = 3/2)
U₀ = 1/3 et U₁ = 0
U₂ = 1 et lim Un en +∞ = 1/2
Donc (Un) est minorée par 0 et majorée par 1, donc bornée
c) Un = (n² + 1)/n définie pour n ≥ 1
Avec la même méthode, on montre que (Un) est croissante.
Mais lim Un en +∞ = lim n²/n = lim n = +∞ donc (Un) divergente
⇒ (Un) n'est pas majorée, seulement minorée par U₁ = 2
