1) a) déterminer les coordonnées des vecteurs AB et CD
vect(AB) = (xb - xa ; yb - ya) = (- 2 +7/2; 5 - 2) = (3/2 ; 3)
vect(CD) = (3 - 5; 5/2 - 13/2) = (- 2 ; - 4)
b) en déduire que le quadrilatère ABCD est un trapèze
il suffit de montrer que le vect(AB) et le vect(DC) sont colinéaires , s'il existe un réel k tel ; vect(DC) = k(vect(AB)
vect(DC) = (2 ; 4) = k (3/2 ; 3)
⇒ 3/2)k = 2 ⇒ k = 4/3
⇒ 3 k = 4 ⇒ k = 4/3
⇒ donc les vect(DC) et vect(AB) sont colinéaires ⇒ (AB) // (DC)
⇒ vect (CD) = 4/3 vect(AB) ⇒ donc ABCD est un trapèze
2) on définit le point I par l'égalité ; vect(IA) = 3/4) vect(ID)
a) démontrer que les coordonnées de I sont (- 23 ; 0.5)
soit I(x ; y)
vect(IA) = ((- 7/2) -x ; 2 - y)
vect(ID) = (3 - x ; 5/2 - y)
vect(IA) = 3/4vect(ID) ⇔ ((- 7/2) -x ; 2 - y) = 3/4(3 - x ; 5/2 - y)
⇒ - 7/2) - x = 3/4(3 - x) ⇔ - 7/2) - x = 9/4 - (3/4)x ⇔ - 3/4) x + x = - 7/2 - 9/4
⇒ x/4 = - 23/4 ⇒ x = - 23
⇒ 2 - y = 15/8 - 3/4) y ⇔ - 3/4) y + y = 2 - 15/8 ⇒ y/4 = 1/8 ⇒ y = 1/2 = 0.5
donc les coordonnées sont bien (- 23 ; 0.5)
b) les points I ; B et C sont -ils alignés
vect(IC) et vect(IB) sont colinéaires s'il existe un réel k tel que
vect(IC) = kvect(IB)
vect(IC) = (5 + 23 ; 13/2 - 0.5) = (28 ; 6)
vect(IB) = (- 2 + 23 ; 5 - 0.5) = (21 ; 4.5)
(28 ; 6) = k(21 ; 4.5)
⇒ 21 k = 28 ⇒ k = 28/21 = 4/3
⇒ 4.5 k = 6 ⇒ k = 6/4.5 = 2/1.5 = 4/3
⇒ donc les points I , B et C sont alignés
3) soient J et K les milieux respectifs des segments (AB) et (CD)
démontrer que les points I, J et K sont alignés
J milieu de (AB) = ((- 2 - 3.5)/2 ; 5 + 2)/2) = (- 5.5/2 ; 7/2)
K milieu de (CD) = ((3 + 5)/2 ; 2.5 + 6.5)/2) = (4 ; 4.5)
vect(IK) et vect(IJ) sont colinéaires , s'il existe un réel k tel que
vect(IK) = k vect(IJ) ⇔ (4 + 23 ; 4.5 - 0.5) = (27 ; 4) = k (25.75 ; 3)
⇒ 25.75 k = 27 ⇒ k = 27/25.75 = 1.05
⇒ 3 k = 4 ⇒ K = 4/3
⇒ I , J et K ne sont pas alignés
