Bonjour,
a) Uâ = 10 donc Uâ â„ 0 : PropriĂ©tĂ© vĂ©rifiĂ©e au rang n = 0
On supppose la propriété vraie au rang n : Soit Un ℠0
Au rang (n + 1) : Un+1 = Un/2 + 1
Un â„ 0
â Un/2 â„ 0
â Un/ 2 + 1 â„ 1
â Un+1 â„ 1
â Un+1 â„ 0
Donc propriété héréditaire...
b) Uâ = Uâ/2 + 1 = 10/2 + 1 = 6
Uâ - Uâ = 6 - 10 = -4 â Uâ - Uâ < 0 â propriĂ©tĂ© vraie
On suppose qu'au rang n : Un+1 - Un < 0
Au rang (n + 1) :
Un+2 - Un+1 = (Un+1)/2 + 1 - Un+1 = -(Un+1)/2 + 1 = -(Un/2 + 1)/2 + 1 = -Un/4 + 1/2
Or d'aprÚs l'hypothÚse de récurrence : Un+1 - Un < 0
soit : Un/2 + 1 - Un < 0
â -Un/2 + 1 < 0
â -Un/4 + 1/2 < 0
â Un+2 - Un+1 < 0
HĂ©rĂ©ditĂ© dĂ©montrĂ©e â (Un) dĂ©croissante
