Bonjour,
a) U₀ = 10 donc U₀ ≥ 0 : Propriété vérifiée au rang n = 0
On supppose la propriété vraie au rang n : Soit Un ≥ 0
Au rang (n + 1) : Un+1 = Un/2 + 1
Un ≥ 0
⇔ Un/2 ≥ 0
⇔ Un/ 2 + 1 ≥ 1
⇔ Un+1 ≥ 1
⇒ Un+1 ≥ 0
Donc propriété héréditaire...
b) U₁ = U₀/2 + 1 = 10/2 + 1 = 6
U₁ - U₀ = 6 - 10 = -4 ⇒ U₁ - U₀ < 0 ⇒ propriété vraie
On suppose qu'au rang n : Un+1 - Un < 0
Au rang (n + 1) :
Un+2 - Un+1 = (Un+1)/2 + 1 - Un+1 = -(Un+1)/2 + 1 = -(Un/2 + 1)/2 + 1 = -Un/4 + 1/2
Or d'après l'hypothèse de récurrence : Un+1 - Un < 0
soit : Un/2 + 1 - Un < 0
⇔ -Un/2 + 1 < 0
⇔ -Un/4 + 1/2 < 0
⇒ Un+2 - Un+1 < 0
Hérédité démontrée ⇒ (Un) décroissante
