Bonjour ;
On a : x^x * y^y = z^z si : ln( x^x * y^y) = ln(z^z) ;
donc si : ln(x^x) + ln(y^y) = ln(z^z) ;
donc si : xln(x) + yln(y) = zln(z) .
Calculons :
ln(x) = ln(12^6) = 6ln(12) = 6ln(4 * 3) = 6ln(2² * 3)
= 6ln(2²) + 6ln(3) = 12ln(2) + 6ln(3) .
ln(y) = ln(6^8) = 8ln(6) = 8ln(2 * 3) = 8(ln(2) + ln(3)) .
xln(x) = 12^6 (12ln(2) + 6ln(3)) =12^7ln(2) + 6 * 12^6ln(3)
= (2² * 3)^7ln(2) + 2 * 3 * (2² * 3)^6ln(3)
= 2^(14) * 3^7ln(2) + 2^(13) * 3^7ln(3) .
yln(y) = 6^8 * 8(ln(2) + ln(3)) = 2^3 * (2 * 3)^8(ln(2) + ln(3))
= 2^(11) * 3^8(ln(2) + ln(3)) .
xln(x) + yln(y) = 2^(14) * 3^7ln(2) + 2^(13) * 3^7ln(3) + 2^(11) * 3^8(ln(2) + ln(3))
= (2^(14) * 3^7 + 2^(11) * 3^8)ln(2) + (2^(13) * 3^7 + 2^(11) * 3^8)ln(3)
= 2^(11) * 3^7(2^3 + 3)ln(2) + 2^(11) * 3^7(2² + 3)ln(3)
= 11 * 2^(11) * 3^7ln(2) + 7 * 2^(11) * 3^7ln(3)
= 2^(11) * 3^7(11ln(2) + 7ln(3)) .
Enfin , on a : zln(z) = 2^(11) * 3^7ln(2^11 * 3^7)
= 2^(11) * 3^7(ln(2^(11)) + ln(3^7))
= 2^(11) * 3^7(11ln(2) + 7ln(3)) .
Conclusion :
On a : ln(x^x * y^y) = z^z ;
donc : x^x * y^y = z^z .
