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Bonjour,
1) Si tu déjà vu les fonctions dérivées : y' = -10x + 20
y' = 0 ⇔ -10x + 20 = 0 ⇒ x = 2
Donc le sommet est atteint pour x = 2.
Et donc ymax = -5*2² + 20*2 + 2 = -20 + 40 + 2 = 22 m
Donc l'altitude de 24 m ne sera pas atteinte.
Si tu n'as pas encore vu les dérivées : Forme canonique
y = -5x² + 20x + 2 = -5(x² - 4x) + 2 = -5[(x - 2)² - 4] + 2 = -5(x - 2)² + 22
Le maximum est atteint quand (x - 2) = 0, donc quand x = 2 et vaut alors y = 22
2) y > 18
⇔ -5x² + 20x + 2 > 18
⇔ -5x² + 20x - 16 > 0
Δ = 20² - 4x(-5)x(-16) = 400 - 320 = 80 = 16x5 = (4√5)²
Donc 2 racines : x₁ = (-20 - 4√5)/-10 = 2 + 2/√5 (≈ 2,89)
et x₂ = ... = 2 - 2/√5 (≈ 1,10)
On en déduit ; y = -5(x - x₁)(x - x₂)
et donc y > 18 pour x ∈ ]x₁ ; x₂[
3) y = 0
⇔ -5x² + 20x + 2 = 0
Δ = 400 + 40 = 440
2 solutions : x₃ = (-20 - √440)/(-10) ≈ 4,1 et x₄ = (-20 + √440)/(-10) ≈ -0,1 solution négative donc à éliminer
⇒ l'objet touche le sol pour x = x₃
voir courbe ci-joint
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