Bonjour,
1) Xn suit la loi binomiale de paramètre n et 0,5.
Donc p(Xn = 2) = (Combinaisons de 2 parmi n) x 0,5² x (1 - 0,5)ⁿ⁻²
Soit Un = (n 2) x 0,5² x 0,5ⁿ⁻² = (n 2) x 0,5ⁿ
(j'ai écrit la combinaison 2 parmi n "à l'horizontale" pour aller vite...)
2) Un+1 = P(Xn+1 = 2) = (n+1 2) x 0,5² x 0,5ⁿ⁺¹⁻²
= (n+1 2) x 0,5ⁿ⁺¹
En appliquant la formule donnée : (n k) = (n-1 k) + (n-1 k -1)
soit (n+1 2) = (n 2) + (n 1)
On obtient : Un+1 = [(n 2) + (n 1)] x 0,5ⁿ
3) (n 2) ≥ (n 1) et (n 1) = n ≥ 3 donc (n 2) + (n 1) > 0
⇒ (Un) décroissante car lim quand n → +∞ de 0,5ⁿ = 0
4) idem lim U = lim 0,5ⁿ = 0
