Bonsoir,
1) a²⁰¹⁵+a²⁰¹⁶=a²⁰¹⁵(1+a)
On va distinguer 2 cas:
Si a est pair donc on peut écrire a=2k avec k∈N donc:
a²¹⁰⁶+a²⁰¹⁵=(2k)²⁰¹⁵(2k+1)
2k+1 est impair et (2k)²¹⁰⁵ est paire donc le produit sera pair.
Si a est impair donc on peut écrire a=2k+1 avec k∈N donc:
a²¹⁰⁶+a²⁰¹⁵=(2k+1)²⁰¹⁵+(2k+1)²⁰¹⁶
a²¹⁰⁶+a²⁰¹⁵=(2k+1)²⁰¹⁵(2k+1+1)
a²¹⁰⁶+a²⁰¹⁵=(2k+1)²⁰¹⁵(2k+2)
a²¹⁰⁶+a²⁰¹⁵=2(k+1)(2k+1)²⁰¹⁵
Tout entier multiplié par 2 donne un entier pair.
En conclusion, a²¹⁰⁶+a²⁰¹⁵ est bien un nombre pair.
2) (a+a³)=a(a²+1)
Nous distinguerons 2 cas également:
Si a est pair donc a=2k avec k∈N donc:
(a+a³)=2k(1+(2k)²)
(a+a³)=2k(1+4k²)
(a+a³)=2(k+4k²)
∀k∈N k+4k²∈N donc 2(k+4k²) est pair.
Si a est impair donc a=2k+1 avec k∈N donc:
(a+a³)=(2k+1)((2k+1)²+1)
(a+a³)=(2k+1)(4k²+4k+1+1)
(a+a³)=(2k+1)(4k²+4k+2)
(a+a³)=2(2k+1)(2k²+2k+1)
∀k∈N (2k+1)(2k²+2k+1)∈N donc 2(2k+1)(2k²+2k+1) est pair.
On en conclut que (a+a³) est pair ∀a∈N
