Bonjour,
1) ta réponse est fausse car la justif n'est pas bonne : un n'est pas égale à 1/n² mais à somme de...
Les termes sont bien de + en + petits, mais on en fait la somme.
Un+1 - Un = [1/1² + 1/2² + .... + 1/n² + 1/(n+1)²] - [1/1² + 1/2² + .... + 1/n²]
= 1/(n+1)² donc > 0
⇒ Un+1 - Un > 0 ⇒ (Un) croissante
2) 1/k² - {1/(k - 1) - 1/k]
= 1/k² - [k - (k - 1)]/k(k - 1)
= 1/k² - 1/k(k - 1)
= [k(k - 1) - k²]/k³(k - 1)
= (- 1)/k³(k - 1)
Pour tout k ≥ 2, k³(k - 1) > 0
⇒ 1/k² - [1/(k - 1) - 1/k] ≤ 0
⇔ 1/k² ≤ 1/(k - 1) - 1/k
Un = Σ 1/k² = 1/1² + 1/2² + ... + 1/n²
1/2² ≤ 1/(2 - 1) - 1/2
1/3² ≤ 1/(3 - 1) - 1/3
...
1/n² ≤ 1/(n - 1) - 1/n
⇒ Un ≤ 1 + (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ..... + [1/(n - 2) - 1/(n - 1)] + [1/(n - 1) - 1/n]
⇔ Un ≤ 1 + 1 - 1/n
1/n > 0 donc Un ≤ 2
3) (Un) croissante et majorée ⇒ (Un) convergente
4) ... on trouve U₁₀₀₀₀ ≈ 1,64483407
5) π²/6 ≈ U₁₀₀₀₀
⇒ π ≈ 3,14149716 soit 3,1415 à 10⁻⁴ près
