Bonjour,
1) U₁ = U₀₊₁ = U₀/(1 - 3U₀) = 1/(1 - 3) = -1/2
U₂ = ... = (-1/2)/(1 + 3/2) = -1/5
U₃ = (-1/5)/(1 + 3/5) = -1/8
U₄ = (-1/8)/(1 + 3/8) = -1/11
U₁/U₀ = -1/2 et U₂/U₁ = 2/5 donc (Un) n'est pas géométrique
U₁ - U₀ = -3/2 et U₂ - U₁ = 3/10 donc (Un) n'est pas arithmétique
2) Vn = 1 - 1/Un
V₀ = 1 - 1/U₀ = 1 - 1 = 0
V₁ = 1 - 1/U₁ = 1 - 1/(-1/2) = 1 + 2 = 3
V₂ = ... = 6
V₃ = 9
(Vn) semble être arithmétique de raison r = 3 et de 1er term V₀ = 0
3) Vn = 1 - 1/Un
⇒ Vn+1 = 1 - 1/Un+1
= 1 - (1 - 3Un)/Un
= (Un - 1 + 3Un)/Un
= (4Un - 1)/Un
= 4 - 1/Un
= 3 + 1 - 1/Un
= 3 + Vn
donc (Vn) arith. de raison r = 3 et de 1er terme V₀ = 0
On en déduit : Vn = V₀ + nr = 0 + nx3 = 3n
4) Vn = 1 - 1/Un
⇔ 1/Un = 1 - Vn
⇒ Un = 1/(1 - Vn)
⇒ Un = 1/(1 - 3n)
5) quand n → +∞, (1 - 3n) → -∞ donc lim Un = 0-
