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résolu

Soit N un entier naturel qui s'écrit abcca en base 5, soit N=a*5⁴+b*5³+c*5²+c*5+a avec 0≤a<5, 0 N s'écrit bbab en base 8

1) démontrer que 309a + 15c = 226b
2)a) démontrer que b est un multiple de 3
b) en déduire b
3) on admet que 3a≡ 1(5). En déduire a et c
4) Ecrire N dans le système décimal
5) démontrer que 3a ≡ 1(5)

J'aurais vraiment besoin d'aide, merci d'avance

Répondre :

SCOLADANVIZ

Bonjour,

1) N = 625a + 125b + 25c + 5c + a = 626a + 125b + 30c

et N = b + 8a + 64b + 512b = 8a + 577b

⇒ 626a + 125b + 30c = 8a + 577b

⇔ 618a + 30c = 452b

⇔ 309a + 15c = 226b

2)a) 226b = 309a + 15c = 3 x (103a + 5c) donc multiple de 3

226 = 2 x 113 et 113 premier donc 226 non divisible par 3

⇒ b nécessairement multiple de 3

b) ⇒ b = 3 car b < 5

3) 3a ≡ 1 [5]

et 0 ≤ a < 5

⇒ a = 2

309 x 2 + 15c = 226 x 3 ⇒ c = (678 - 618)/15 = 60/15 = 4

4) N = bbab base 8

⇒ N = 3x512 + 3x64 + 2x8 + 3 = 1747

5) 3a = 6 = 5 + 1 ⇒ 3a ≡ 1 [5]   bizarre cette question ??

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