Bonjour,
1) U₀ = 2 ≥ 2 donc propriété vérifiée au rang n = 0
On suppose qu'au rang k : Uk ≥ 2
au rang (k + 1) :
Uk+1 - 2 = [Uk² - 2(Uk - 1)]/(Uk - 1)
= (Uk² - 2Uk + 2)/(Uk - 1)
soit f(x) = (x² - 2x + 2)/(x - 1) définie sur I = [2;+∞[
f'(x) = [(2x - 2)(x - 1) - (x² - 2x + 2)]/(x - 1)² = (x² - 2x)/(x - 1)² = x(x - 2)/(x - 1)²
⇒ f'(x) > 0 sur I ⇒ f strictement croissante sur I et f(2) = 2
⇒ ∀ x ∈ I, f(x) ≥ 2
⇒ Uk+1 - 2 ≥ f(Un) ≥ 2
⇒ Uk+1 ≥ 4 donc ≥ 2
⇒ hérédité démontrée
2) Un+1 - Un = [Un² - Un(Un - 1)]/(Un - 1) = 1/(Un - 1) > 0 car Un - 1 ≥ 1
⇒ (Un) croissante
3) On suppose lim Un = l
alors lim Un+1 = l
Or lim Un+1 = lim Un²/(Un - 1) = lim Un²/lim (Un - 1) = l²/(l - 1)
⇒ l = l²/(l - 1)
⇔ l² - l = l²
⇔ l = 0
Or : ∀ n ∈ N, Un ≥ 2 ⇒ impossible
4) On suppose qu'il existe a ∈ R / ∀ n ∈ N, Un ≤ a
(Un) est croissante ⇒ ∀ n ∈ N, Un ≤ Un+1 ≤ a
⇒ impossible ⇒ (Un) n'est pas majorée
⇒ lim Un = +∞
