1) montrer que le triangle OMN est rectangle
N(10 ; 0) ⇒ ON² = 100
Réciproque du théorème de Pythagore
OM²+MN² = 8² + 6² = 64+36 = 100
ON² = 100
⇒ l'égalité OM²+MN² = ON² est vérifiée donc le triangle OMN est rectangle en M
2) on note x et y l'abscisse et l'ordonnée de M
a) exprimer les distances OM et MN en fonction de x et y
OM = √(x² + y²)
MN = √[(10 - x)² + (0 - y)²] = √[(10 - x)² + y²]
b) en déduire par résolution d'équation les valeurs exactes de x et y
OM² = 64 = x² + y²
MN² = 36 = (10 - x)² + y² ⇔ 36 = 100 - 20 x + x² + y²
⇔36 = 100 - 20 x + (x² + y²) ⇔ 36 = 100 - 20 x + 64 ⇔ 20 x = 164 - 36 = 128
⇒ x = 128/20 = 32/5 = 6.4
⇒ y² = 64 - x² = 64 - (32/5)² = (1600 - 1024)/25 = 576/25 = 23.04
⇒ y = √23.04 = 4.8
3) on considère maintenant le point M' tel que OMNM' soit un rectangle
calculer les coordonnées de M'
dans un rectangle les diagonales sont égales ⇔ ON = MM'
Soit M' (x' ; y') ⇒ vect(M'N) = vect(OM)
⇔ (10 - x' ; - y') = (6.4 ; 4.8)
⇒ 10 - x' = 6.4 ⇒ x' = 10 - 6.4 = 3.6
⇒ - y = 4.8 ⇒ y' = - 4.8
M'(3.6 ; - 4.8)
