a) On commence par exprimer le volume d'eau dans le récpient cylindrique
La boule de rayon 5 cm ne flotte pas et l'eau la recouvre exactement donc l'eau le cylindre a de l'eau sur 10 cm (2 x 5 cm) de haut
Le volume d'un cylindre est π x R² x H
Le volume d'une sphère est 4π/3 x R³
On a donc
VolumeEau + Volume sphere de rayon 5 cm = Volume d'un cylindre d'une hauteur de 10 cm
soit VolumeEau + 4π/3 x 5³ = π x 10² x 10
d'où VolumeEau = π x 10³ - 4π/3 x 5³
VolumeEau = π x (5 x 2)³ - 4π/3 x 5³
VolumeEau = π x (1000 - 500/3)
VolumeEau = 2500 x π/3
VolumeEau ≈ 2618 cm³
Maintenanton plonge une seconde sphère de rayon R dans le cylindre et l'eau recouvre à nouveau exactement la sphère, on a donc
R ≤ 10 (la boule rentre dans le cylindre)
Et
VolumeEau + Volume sphere de rayon R = Volume d'un cylindre d'une hauteur de 2 R
VolumeEau + 4π/3 x R³ = π x 10² x (2 x R)
soit 4π/3 x R³ - 2 x π x 10² x R + VolumeEau = 0
4π/3 x R³ - 200 x π x R + 2500 x π/3 = 0
4π/3 x (R³ - 600/4 x R + 2500/4) = 0
R³ - 150 x R + 625 = 0
(R - 5) x (a R² + b R + c) = 0
équivaut à a R³ + (b - 5a) x R² + (c - 5 b) x R - 5c = 0
On regarde donc si on peut trouver a, b et c vérifiant
soit
Les coefficients a, b, c existent, notre équation R³ - 150 x R + 625 = 0 est donc équivalente à
(R - 5) x (R² + 5 x R - 125) = 0
On sait que le rayon de la deuxième boule est différent de celui de la première, on cherche donc R ≠ 5
La valeur de R recherchée est donc une solution de R² +5 x R - 125 = 0. On peut préciser qu'il s'agit d'une solution positive (la boule ne peut pas avoir un rayon négatif)
Le discriminant est Δ = (5)² - 4 x 1 x (-125) = 525
Les solutions sont r1 = (-5 - √525)/2 ≈ -13.96 et r2 = (-5 + √525)/2 ≈ 8.96
On a donc R = (-5 + √525)/2 soit R ≈ 9 cm
