1ère étape : on tire un jeton d' un sac contenant 3 noirs et 2 blancs --> proba(tirer un noir) = 3/5 = 0,6 = 60 % ; p(blanc) = 2/5 = 0,4 = 40 % .
2de étape : on tire un jeton d' un sac contenant 5 jetons ( 3 noirs et 2 blancs OU 2 noirs et 3 blancs )
--> proba(noir ; puis noir) = 0,6 x 0,6 = 0,36 .
--> p(noir ; puis blanc) = 0,6 x 0,4 = 0,24 .
--> p(blanc ; puis noir) = 0,4 x 0,4 = 0,16 .
--> p(blanc ; puis blanc) = 0,4 x 0,6 = 0,24
remarque : TOTAL = 1 donc j' ai juste !
3ème étape : on place le jeton tiré du second sac dans le 3ème sac puis on tire au hasard un jeton de ce 3ème sac :
■ p(nnn) = 0,6² x 0,6 = 0,216
■ p(nnb) = 0,36 x 0,4 = 0,144
■ p(nbn) = 0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,096
■ p(nbb) = 0,6 x 0,4 x 0,6 = 0,144
■ p(bbb) = 0,4 x 0,6² = 0,144
■ p(bbn) = 0,4 x 0,6 x 0,4 = 0,096
■ p(bnb) = 0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064
■ p(bnn) = 0,4 x 0,4 x 0,6 = 0,096
remarque : TOTAL = 1 donc j' ai juste !
2°) p(E1) = 0,4 ; puis p1(E2) = 0,4 x 0,6 = 0,24 = p(blanc ; puis blanc)
et p(noir ; puis blanc) = 0,24
donc p(E2) = 0,24 + 0,24 = 0,48
de même, p(E3) = 0,496
Supposons Pk+1 = α Pk + β
--> on doit résoudre : 0,496 = 0,48 α + β ET 0,48 = 0,4 α + β
par soustraction, on trouve 0,08 α = 0,016 --> α = 16/80 = 1/5 = 0,2 --> β = 0,4 .
Conclusion : Pk+1 = 0,2*Pk + 0,4 est justifié !
3°) U1 = 0,4 ; Un+1 = 0,2 Un + 0,4 --> U2 = 0,48 ; U3 = 0,496 ; U4 = 0,4992 ;
U5 = 0,49984 ; U6 = 0,499968 ; ...
V1 = -0,1 ; V2 = -0,02 ; V3 = -0,004 ; V4 = -0,0008 ; V5 = 0,00016 ; ...
on constate bien que V5/V4 = V4/V3 = V3 /V2 = V2/V1 = 0,2 .
Conclusion :
(Vn) est bien une suite géom de terme initial V1 = -0,1 et de raison q = 0,2 .
Vk = -0,1 x 0,2 puissance(k-1)
Uk = 0,5 - [ 0,1 x 0,2 puissance(k-1) ]
pour k tendant vers +∞ , on a Limite Uk = 0,5 .
4°) la Casio donne k = 6 .
vérif : U6 = 0,5 - [ 0,1 x 0,2 puiss5 ] = 0,5 - 0,000032 = 0,499968
donc p(E6) = 0,499968 = proba de tirer un blanc à la 6ème étape !
