1) montrer que les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires
(AB) et (AC) sont perpendiculaires si le produit des pentes est égal à - 1
soit m₁ : la pente de (AB) ⇒ m₁ = (0 - 4)/(-5 + 3) = 2
m₂ : la pente de (AC) ⇒ m₂ = (0 - 4)/(5+3) = - 4/8 = - 1/2
⇒ m₁ x m₂ = - 1/2) x 2 = - 1
⇒ donc (AB) ⊥ (AC)
2) a) K milieu de (AC); calculer les coordonnées du point K
soit K(xk ; yk)
K milieu de (AC) ⇒ xk = (xc+xa)/2 et yk = (yc+ya)/2
⇒ xk = (5-3)/2 = 2/2 = 1 et yk = (0 + 4)/2 = 2
Les coordonnées du point K sont : (1 ; 2)
b) calculer les coordonnées du point D, symétrique de K par rapport à O.
soit D(x ; y)
on écrit : DK = 2 x OK
⇒ DK = (1 - x ; 2 - y) et OK = (1 ; 2)
⇒ 1 - x = 2 ⇒ x = - 1
⇒ 2 - y = 4 ⇒ y = - 2
D(- 1 ; - 2)
3) quelle est la nature exacte du quadrilatère ABDK
Puisque on a déjà vu que (AB) ⊥(AC) et K milieu de (AC) donc ∈ (AC) donc (AB) ⊥(AK)
de plus il faut que AK = AB
AK = √[(1+3)²+(2 -4)²] = √(16 + 4) = √20
AB = √[(- 5+3)²+(0-4)²] = √(4+16) = √20
⇒ donc AB = AK ⇒ ABDK est un carré
4) justifier que les points A, B,D et K sont sur le même cercle dont on donnera le centre et le rayon.
le carré ABDK est inscrit dans un cercle a pour diamètre BK et AD ⇒ donc A, B , D et K ∈ au cercle de plus (BK) ⊥(AD) et se coupent au même milieu qui est le centre du cercle.
soit Ω(a ; b) le milieu de (AD) ⇒ a = (- 1 - 3)/2 = - 2 et b = (- 2 + 4)/2 = 1
Ω(- 2 ; 1) le centre du cercle
AD = √[(- 1 + 3)²+(- 2- 4)²] = √(4+36) = √40 = 2√10
R = AD/2 = 2√10/2 = √10
L'équation du cercle est (x + 2)² + (y - 1)² = 10
le point A(- 3 ; 4) ⇒ (- 3 + 2)² + (4 - 1)² = 10
1 + 9 = 10 ⇒ A ∈ au cercle
vous vérifiez pour les autres points qu'ils appartiennent au même cercle
